Mein Blögchen für alles!

Betrachten wir das Beispiel einer Kugel, die mit einer Geschwindigtkeit w = 25 m/s auf eine Mauer zufliegt. Diese Kugel braucht bei einer Entfernung zur Mauer von 100m also t = 4s. Nun stellen wir zusätzlich zu diesem einen System noch ein weiteres System auf, dass sich parallel zur Mauer mit der Geschwindigkeit v = 0,6c bewegt.

Nach den Regeln der Zeitdilatation bedeutet das, dass die Kugel in diesem System t’ = 5s braucht:

Damit hat die Kugel in diesem zweiten System nur eine Geschwindigkeit w’ = 20 m/s.

Betrachten wir jetzt aber den Impuls der Kugel, mit dem sie auf die Mauer auftrifft, so haben wir für das Orginalsystem den Impuls

,

bei unserem anderen System aber

.

Da auch bei der Relativistik die Impulserhaltung gilt, müssen beide Impulse aber gleich sein, weswegen die einzige Möglichkeit ist, dass sich die Masse der Kugel im zweiten System vergrößert hat. Nehmen wir eine Masse von m = 1kg für unser erstes System, so können wir für unser zweites System die Masse ausrechnen:

Um die Änderung der Masse direkt auszurechnen, führen wir die Gleichsetzung der Impulse nun noch einmal mit den Variablen durch:

Mit m’ als bewegter Masse und m als Ruhemasse haben wir dadurch nun eine Formel, die es uns erlaubt die Massenzunahme zu berechnen.

Will man jetzt die Energie eines bewegten Teilchens bestimmen, so stellt man in Experimenten fest, dass die Formel W_kin= 1/2 m v² nicht anwendbar ist, da sie die falschen Ergebnisse liefert (bei hohen Geschwindigkeiten).

Deshalb suchen wir nun nach einer anderen Formel zur Bestimmung der Energie. Im folgenden werde ich dazu einige Umformungen vornehmen, in denen ich der einfachheit halber die Variablen k und β mit den Definitionen

ersetze.

Fangen wir an die Massendifferenz zwischen der Ruhemasse und der bewegten Masse zu bestimmen, so können wir folgende Umformungen vornehmen (m = bewegte Masse; m₀ = Ruhemasse):

Da wir nach den binomischen Formeln umformen können

,

können wir unser Ergebnis von oben mit (1 + k) erweitern (wir tuns einfach, auch wenns komisch erscheint )

Für kleine Geschwindigkeiten v wird β praktisch 0, wodurch wir für k = √(1 – β) = 1 haben:

, wobei W_kin= 1/2 m v²

Dadurch haben wir W_{kin,klassisch} ≈ mc² für kleine v in der Form W = 1/2 mv² bewiesen.
Da wir hier aber auch den relativistischen Teil betrachten wollen, müssen wir noch folgende Umformung vornehmen.
Nehmen wir wieder die Anfangsformel, so können wir diese mit c² erweitern. daraus folgt:

Da wir oben ermittelt haben, dass W_kin = mc² ist, können wir nun gleichsetzten:

Mit dem Satz, dass E = mc² ist, haben wir damit als Gesamtenergie eines Teilchens:

Ein ruhender Körper hat nun die die kinetische Energie W_kin = 0, aber er hat eine Ruheenergie von W₀= m₀c². Dadurch haben wir als relativistische kinetische Energie eines Körpers die Formel

Und als Gesamtenergie eines Teilchens

.

Damit hätten wir hier die Umformung zwischen Masse und Energie theoretisch bewiesen.