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17. Apr 2006
13:41

Der Compton-Effekt

Posted by Astrodan under Schule, Physik, Schule

..oder: Das Billiard der Strahlen

Neben dem Photoeffekt gibt es eine weitere Strahlung-Materie-Wechselwirkung, den sogenannten Compton-Effekt. Diesen kann man sich so vorstellen, als dass die Strahlen auf ihrem Weg ein Elektron treffen. Diesem übertragen sie nun eine gewissen Menge Energie, so dass das Elektron nun eine gewisse Menge kinetischer Energie erhalten hat. Dadurch wurde dem Quant Energie entzogen, so dass sich seine Wellenlänge vergrößert hat. Stellen wir diesen Prozess bildlich dar, so erhalten wir fogendes Bild:

Betrachten wir nun für dieses Diagramm die Erhaltungssätze, so haben wir:

Energieerhaltung:

$E_Gesamt = {E prime}_Gesamt$

Impulserhaltung:

${{p prime}_e}^2 = p^2 + {p prime}^2 - 2 p p prime * cos beta$

Compton-Effekt - Impulserhaltung
Ableiten der Impulserhaltung mit Hilfe des Kosinussatzes

Kleine Buchstabenkunde:
E = Energie des Quants vorher
E’ = Energie des Quants nach dem Stoss
E_e = Energie des Elektrons vorher
E_e‘ = Energie des Elektrons nach dem Stoss
sowie gleiche Notation für die Impulse
Nun können wir folgende Umformungen vornehmen:

${{p prime}_e}^2 = p^2 + {p prime}^2 - 2 p p prime * cos beta$ |

Mit der Gleichsetzung

$({p prime}_e * c^2)^2 = {{E prime}_e}^2 - {E_e}^2$ und

können wir dies umformen zu

$doubleleftright {{E prime}_e}^2 - {E_e}^2 = E^2 + {E prime}^2 - 2 E E prime * cos beta$

Nach der Energieerhaltung gilt jetzt $E + E_e = E prime + {E prime}_e$ ,
was sich umformen lässt zu ${E prime}_e = E + E_e - E prime$ ,
wodurch wir erhalten:

$doubleleftright (E + E_e - E prime)^2 - {E_e}^2 = E^2 + {E prime}^2 - 2 E E prime * cos beta$

Was man nun erstmal eine Weile auflösen kann:

$doubleleftright E^2 + E E_e - E E prime + E E_e + {E_e}^2 - E_e E prime - E E prime - E_e E prime + {E prime}^2$
$~~~~~~ - {E_e}^2 {=} E^2 + {E prime}^2 - 2 E E prime * cos beta$
$doubleleftright E^2 + {E prime}^2 + 2 E E_e - 2 E prime E_e - 2 E E prime$
$~~~~~~{=} E^2 + {E prime}^2 - 2 E E prime * cos beta$
$doubleleftright E^2 + {E_e}^2 + {E prime}^2 + 2 E E_e - 2 E prime E_e - 2 E E prime - {E_e}^2$
$~~~~~~{=} E^2 + {E prime}^2 - 2 E E prime * cos beta$

| $* {{1}/{E E prime E_e}}$
$doubleleftright {{1}/{E prime}} - {{1}/{E}} = {{(1 - cos beta)}/{E_e}}$
$doubleleftright {{1}/{E prime}} - {{1}/{E}} = {{(1 - cos beta)}/{m_0 c^2}}$ |
$doubleleftright {{1}/{h * {c/{lambda prime}}}} - {{1}/{h * {c/lambda}}} = {{(1 - cos beta)}/{m_0 c^2}}$
$doubleleftright {{lambda prime}/{h c}} - {{lambda}/{h c}} = {{(1 - cos beta)}/{m_0 c^2}}$
$doubleleftright lambda prime - lambda = {{h c (1 - cos beta)}/{m_0 c^2}}$