P1, Analysis:

1.1.1 Wir wissen über P, dass p(1) = 1 ist, und das die Steigung an der Stelle x = 1 gleich der Steigung der Funktion k an der Stelle x = 1 ist. Damit können wir nun die Steigung für k berechnen:

Jetzt können wir die Bedingungen für p anwenden:

(1)
(2)
(2) in (1) einsetzen

Wodurch wir als Lösung die Funktion

haben.

1.1.2 Die Steigung an der Tangenten kennen wir mit -1 bereits, als Punkt ist uns S(1; 1) bekannt, folglich können wir die Punktsteigungsform anwenden:

1.1.3 Zu erst können wir die Normale bestimmen:

Nun brauchen wir die Schnittpunkte der Normalen mit p(x)

Damit können wir nun die Fläche zwischen der Normalen und der Parabel durch eine Substitution der Flächen bis zur x-Achse berechnen:

Wodurch wir einen Flächeninhalt von ⁴/₃ Flächeneinheiten haben.

1.2 Wir können hier wieder das Integral der Funktion p(x) berechnen, als Grenzen nehmen wir dazu aber die gegebene -1 und die Obergrenze u. Setzten wir das ganze mit 2 gleich, können wir u dadurch ausrechnen:

1.3 Zuerst sammeln wir Informationen über h(x) und bilden die Ableitung:

Da Die Funktion durch den Pinkt s(1; 1) geht:

Da die Steigung im Punkt S gleich der Steigung der Funktion k im Punkt s ist:

Nun können wir berechnen:

(1)
(2)

(1) in (2) einsetzen:

2.1

Normalenvektor:

Normalenform:

Koordinatenform:

2.2 Winkelberchnung über Normalenvektoren:

2.3 Bilden wir hierzu die Hilfsgerade vom Ursprung durch die Ebene mit Hilfe des Normalenvektors haben wir:

Jetzt können wir den Schnittpunkt der geraden mit der Ebene bestimmen:

einsetzen

Dadurch erhalten wir den Punkt auf der Ebene, der am nächsten am Ursprung dran ist, und können seinen Abstand berechnen:

Entfernung:

Nachtrag: Dank der Aufopferungsvollen Arbeit Stefans konnte er mir mitteilen, dass an dieser Stelle eine Berchnung der Entfernung über die Hess’sche Normalenform vermutlich wesentlich einfacher gewesen wäre. Die Rechnung überlasse ich aber aufgrund der Einfachheit euch .
2.4 Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Grundseite:

Hilfsebene mit Vektor von g_BC als Normalenvektor, durch Punkt A:

Schnittpunkt von g_BC und der Ebene ist der Punkt, von dem aus die Gerade den kürzesten Abstand zu Punkt A hat:

einsetzen

Schnittpunkt SP(4,57; -2,29; -1,14) (alle Werte lassen sich auch als Bruch ausdrücken)

Berechnen wir nun den Abstand des Schnittpunktes vom Punkt A:

Die Länge dieses Vektors definiert damit die Höhe der Grundseite BC

Die Länge der Grundseite ist die Länge des Vektors von B nach C:

Damit können wir schließlich nach der altbekannten Formel die Fläche des Dreeicks bestimmen:

2.5 Die Länge der Strecke AB ist recht sinnvoll zu wissen, also fangen wir damit an:

Die Gerade von A nach C können wir ebenfalls bestimmen:

Den Richtungsvektor dieser Geraden müssen wir jetzt auf die Länge 6 bestimmen, dazu können wir seinen Betrag samt des Faktors s bestimmen:

Dieses s können wir nun in die Gerade einsetzten und erhalten dann den Punkt D

Womit wir D als D(2; 2; 0) bestimmt hätten.

***

Nachtrag: Siehe 2.3

Aufgaben Arbeitsblatt Abitur.NRW 2007
Lösungen der Aufgaben Arbeitsblatt Abitur.NRW 2007

Meine Lösungen:

a) Aum zu begründen, dass der Graph G(g) auch zur Funktion g(x) gehört und der Graph G(f) zur Funktion f(x), gibt es mehrere mögliche Möglichkeiten, die sich als möglich erweisen werden. Aber ich werde hier nur auf eine, und zwar die meiner Meinung nach einfachste eingehen:

Betrachten wir die Graphen in der Zeichnung, so stellen wir fest, dass der eine Graph im negativen x Bereich auch negative y-Werte hat, während der andere Graph wieder ins Positive läuft (bzw. von dort kommt). Vergelichen wir jetzt die Funktionen, so können wir diese unterscheiden: Beide beinhalten den gleichen e-Term, der nie < 0 werden kann. Also muss der andere Faktor < 0 werden können. Dies ist nur in der Funktion f(x) der Fall, wodurch wir den Grafhen G(f) nun eindeutig der Funktion f(x) zuordnen können.

Zur Untersuchung, ob der Wendepunkt an der gleichen Stelle liegt wie der Hochpunkt benötugen wir zuerst die Ableitungen der Funktionen:

Berechnen wir nun den Hoch- und den Wendepunkt:

Notwendige Bedingungen:

Hinreichende Bedingungen:

Somit wäre bewiesen, dass der Hochpunkt von g(x) und der Wendepunkt von f(x) am gleichen Punkt liegen. Dieser Punkt hat weiterhin die y-Koordinate:

HP/WP (2; 4)

b) Das Dreieck, dass hierbei erforderlich ist kann Beschrieben werden, indem man das Dreieck nimmt, dass sich aus u, dem Ursprung und g(u) bildet und das Dreieck aus u, dem Ursprung und f(u) abzieht:

mit

Wodurch wir die Funktion haben:

Das Maximum erhalten wir nun über die erste Ableitung:

Da u > 2 sein soll bleibt nur u = 4 übrig. Überprüfen wir dies nun, ob es ein Hochpunkt ist. Dies können wir machen, in dem wir Punkte in der direkten Umgebung vergleichen:

Wodurch wir den Hochpunkt gefunden haben und das Dreieck bei einem u von 4 zu finden ist.

c)

(1) “h entsteht aus f durch Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/60, Streckung in y-Richtung mit Faktor 10 und Einschränkung auf 0 R⁺” (Zitat offizielle Lösung)

Stammfunktion:

Durch Ableiten der Funktion H(t) erhält man h(t):

(2) 21.15:

Minuten von 20.15 Uhr bis 21.15 Uhr = 60 min

Um 21.15 sind es ungefähr 54 Anrufe pro Minute (durchschnittlich)

Mitternacht (24.00)

Minuten von 20.15 Uhr bis Mitternacht = 225 min

Um Mitternacht sind es im Schnitt 13 Anrufe pro Minute.

Die Anrufe bis Mitternacht lassen sich über das Integral der Funktion von 0 bis 225 MInuten bestimmen:

Bis Mitternacht gibt es ungefähr 7876 Anrufe

(3)

Dabei gilt

,

so dass der gesamte rechte Teil = 0 wird

Dadurch haben wir eine Maximalzahl an Anrufen von ungefähr 8866, was bedeutet, dass egal wie lange die Sendung laufen würde nie mehr als 8866 Anrufer anrufen würden. Für einen Realfall einer längeren Sendung wäre die Funktion damit eher ungeeignet, da immer davon auszugehen ist, dass nochmal jemand anruft.

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An einem Denkmalgeschützten Turm müssen Restaurierungsrabeiten vorgenommen werden. Das Dach soll neu gedeckt werden und laut den neuesten Sicherheitsrichtlinien muss eventuell auch ein Schneefanggitter montiert werden. Der Turm hat eine Gesamthöhe von 21,6 m. Sein Dach hat die Form einer senkrechten Pyramide mit einer Höhe von 2 m.

Die Eckpunkte des Grundquadrats der Pyramide befinden sich in der x₁-x₂-Ebene und haben die Koordinaten

A (0;0;0)
B (b₁;b₂;b₃)
C (6;6;c₃)
D (d₁;d₂;d₃)

Die Pyramidenspitze S hat die Koordinaten

S (3;3;2)

a) Ergänzen Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte B, C und D.
Auf welcher horizonatlen Ebene E steht der Turm?
Welcher Maßstab wird hier verwendet?

b) Wie groß ist die gesamte Dachfläche?

c) Die Dachneigung ist ausschlaggebend für die Notwendigkeit von Schneefanggittern. Ist sie größer als 30°, so muss ein Gitter montiert werden. Berechnen Sie, ob ein Gitter angebracht werden muss!

d) Entscheiden Sie, ob im Inneren des Daches vom Punkt C aus eine zur Kante [AS] orthogonale Stützstange eingebaut werden kann.

e) Um sich einen besseren Überblick zu verhschaffen, geht ein Bauarbeiter, dessen Augenhöhe 1,60 m beträgt, vom Turm aus rückwärts. Seine Augen bewegen sich dabei auf der Geraden:

Welche Entfernung hat der Bauarbeiter von der ihm zugewandten rechteckigen Fläche des Turms in dem Augenblick, in dem er die Turmspitze zum ersten Mal sehen kann?

Lösungen:

Da wir uns in der x₁-x₂-Ebene befinden, wissen wir, dass die x₃ Koordinate in jedem Punkt 0 ist. Weiterhin haben wir durch den Punkt C die Änderungen auf der x₁ und x₂ Achse gegeben, bzw. können sie Alternativ auch aus dem Punkt S herleiten, der in der Mitte des Quadrats liegen muss. Damit erhalten wir für die Punkte B und D:

B (0;6;0)
D (6;0;0)

Der Maßstab ist hierbei 1:1, d.h. eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter. Dies kann man daran erkennen, dass das Dach laut Aufgabe 2 m über der Dachgrundfläche liegt, und wir bei den Punkten eine Änderung von x₃ um 2 Einheiten haben. Die horizontale Ebene E, auf der der Turm steht, befindet sich 21,6 m unter der Turmspitze, wodurch wir die x₃-Koordinate einfach um 21,6 verringern müssen, um einen Punkt in dieser Ebene zu erhalten. Weiterhin wissen wir, dass die Ebene horizontal ist, weswegen wir als Normalenvektor der Ebene einen senkrechten Vektro (x₃ = 1) annehmen können:

b) Die gesamte Dachfläche besteht aus 4 gleich großen Dreiecken. Folglich reicht es die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. In diesem Beispiel berchne ich die Fläche ASD.

Die Grundseite AD hat eine Länge von 6 m.
Für die Höhe können wir folgende rechnung machen:

Wir kennen die Spitze durch den Punkt S. Weiterhin können wir die Mitte der Grundseite berechnen:

Bilden wir die Entfernung dieses Punktes von der Spitze erhalten wir den Vektor:

Die Länge dieses Vektors ist

Damit hätten wir auch die Höhe, und können nun die Fläche des Dreiecks ausrechnen:

Diese Fläche haben wir nun 4 mal, wodurch sich schließlich ergibt:

c) Wir benötigen hier den Winkel zwischen dem vektor der Ebene und einem Vektor von der Mitte einer Dachseite zur Spitze. Als Mitte wählen wir hierbei wieder

Wodurch sich der Vektor zur Spitze von

ergibt. Als Ebenenvektor brauchen wir nun einen Vektor, der in der selben x₃ – Ebene verläuft wie der Vektor MS. Dies ist in diesem Fall

,

wie sich leicht aus der Zeichnung ersehen lässt. Da wir hier diese Vektoren Stellvertretend für Geraden haben, können wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren mit Hilfe des cosinus ausrechnen:

Daraus kann man sehen, dass der Winkel größer als die angegebene Grenze von 30° ist, weswegen Schneefanggitter befestigt werden müssen.

d) Um diese Aufgabe zu lösen bilden wir zuerst eine Ebene, die die Kante [AS] als Normalenvektor hat und C als Punkt:

Jetzt können wir den Schnittpunkt der Gerade, die durch A und S verläuft mit der Ebene bestimmen, um herauszufinden an welchem Punkt die Stütze ansetzten würde. Die Gerade g lautet hierbei:

Die Ebene in Koordinatenform umgeformt lautet:

Jetzt können wir die Gerade und die Ebene gleichsetzten

Dadurch erhalten wir beim Einsetzen:

Dieser Punkt liegt aber nicht mehr auf der Strecke zwischen A und S, weswegen der Stützpfosten außerhalb des Daches befestigt werden müsste. Erkennt man die Problematik dieser Sachlage, kann man schnell feststellen, dass dieser Stützpfosten nicht ohne größere Umbauarbeiten eingebaut werden kann.

e) Gehen wir davon aus, dass der Bauarbeiter am Stützvektor der Geraden e los geht, können wir hier deutlich sehen, dass er sich in der Mitte der Seite AB aufhält (x₂ = 3). Die Spitze kann er dabei sehen, wenn von seinen Augen zur Spitze eine Gerade besteht, die mindestens der Geraden von S durch die Mitte der Seite AB entspricht oder noch flacher ist. Da hier nach der kleinsten Entfernung gefragt ist, müssen sich die beiden geraden entsprechen, so dass wir die Gerade von S durch die Mitte von AB benutzen können:

Nun können wir den Schnittpunkt der Gerade g und e bestimmen:

Daraus ergibt sich:

Da u gleich auch der Abstand des Bauarbeiters von der Fläche des Turms ist, bei der er losgegangen ist, können wir hieraus schließen, dass der Bauarbeiter -27 Einheiten auf der x₁ – Achse marschiert ist, jetzt also einen Abstand von 27m vom Turm hat. Damit hätten wir den Abstand bestimmt. Interessant ist jetzt alerdings die Frage, ob er an dieser Stelle wirklich schon die Spitze sieht, oder ob er nicht gerade noch die Kante sieht, und die Spitze ert sehen kann, wenn er ein klitzekleines Stückchen weiter weg gegangen ist. Denn eigentlich geht sein Blick an dieser Stelle ja immernoch erst durch die Kante und trifft danach auf die Spitze – folglich ist die Kante in seinem Blick, und die Spitze verdeckt. Aber vermutlich hat der Autor dieser Aufgabe solche Spitzfindigkeiten nicht erwartet .

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