11. Nov 2008
18:47
18:47
Mehr 90% aller Leser werden dies hier nicht verstehen. Der Anteil derer, die es verstehen, wird vermutlich gegen null gehen. In einem gewissen Bereich.
02. Dez 2006
13:47
13:47
Alle, die dieses Jahr keinen Adventskalender gekriegt haben, oder nicht genug kriegen wollen, können sich mal diesen hier angucken. Ist vielleicht eher für Mathematiker geeignet, aber trotzdem ganz interessant. Auch wenn der erste Tag schon gestern war, kann man ja imemrnoch mitmachen, zur Not halt nur zum Spass.
Wünsche allen Teilnehmern viel Glück!
Zum Ableiten von Funktionen gibt es verschiedene Regeln, die angewandt werden können. Diese lassen sich beliebig kombinieren, um schließlich die Ableitung zu erhalten.
Standardformel zum Ableiten:
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Beispiel 3:
Beispiel 4:
Ableitung von Summanden:
Beispiel:
Ableitung von Funktionen mit Skalaren:
Beispiel:
Kettenregel:
Beispiel:
Produktregel:
Beispiel:
Quotientenregel:
Beispiel:
Besondere Ableitungen:
Sinus:
Cosinus:
Exponentialfunktion:
Logarithmus:
24. Feb 2006
13:20
13:20
Um ein Integral zu lösen gibt es verschiedene Möglichkeiten, wenn es darum geht die Stammfunktion zu bilden.
Allegemeine Regel:
Generell gilt bei der Bildung der Stammfunktion:
Summen oder Differenzen:
Besteht die zu integrierende Funktion aus einer Summe oder einer Differenz, so darf man diese in zwei verschiedenen Integralen schreiben:
oder auch
Skalarprodukte:
Eine Funktion, die ein Produkt enthält, das unabhängig von dem Wert ist, nach dem integriert werden soll (x bei dx, z bei dz, etc.) kann vor ds Integral geschoben werden. Gleiches gilt folglich auch für einen Divisor, da er nur d Umkehrprodukt eines Faktors ist.
Produkte (partielle Integration):
Will man die Stammfunktion eines Produktes zweier Funktionen bilden, die beide die nach der zu intergriegenden Variable enthalten hat man zwei Möglichkeiten. Zum einen kann man die Funktion ausmultiplizieren und dann nach den Bereits bekannten Regeln integrieren, oder man benutzt die Variante der partiellen Integration.
Die partielle Integragtion erlaubt es einen Teilterm der Funktion zu integrieren, während ein anderer Teil erhalten bleibt, aber verändert wird. Durch geschicktes Wählen der Terme kann man so das zu lösende Integral vereinfachen.
Definieren wir nun a(x) als u′(x) und b(x) als v(x) so haben wir:
Anderes (Substitution):
Es gibt aber auch Funktionen, die sich auf die bis oben besprochene Art und Weise nicht lösen lassen. Für mache bietet die Integration durch Substitution eine Lösung. Bei dieser Methode ersetzt man einen &undefined;störenden&undefined; Teilterm der Funktion durch eine andere Variable bzw. durch einen anderen Term:
Substituieren wir hier z = 1 – x erhalten wir:
und, nach den Regeln der Substitution zur Ersetzung des dx:
Wodurch unser neues Integral
lautet. Dieses lässt sich nun einfach auflösen und wir erhalten:
Jetzt können wir unseren z-Wert resubstituieren, so dass die endgültige Lösung wie folgt lautet:
Folgende Schritte können in einer Kurvendiskussion durchgeführt werden
1. Werte und Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist der Bereich für den die Funktion definiert ist, d.h. er definiert die Zahlen, die man als x-Werte einsetzten kann und einen gültigen y-Wert erhält. Zu beachten ist hierbei zum Beispiel:
(ohne null)
Wertebereich ist der Bereich an Werten, der als Ergebnis des Funktionstherms herauskommt. Hierbei sind zum Beispiel folgende Therme interessant:
2. Asymptoten und Definitionslücken
Definitionslücken und Asymptoten unterscheiden sich grundsätzlich in dem Fortgang der Kurve links und rechts der Definitionslücke. Bei einer Definitionslücke geht die Kurve an beiden Seiten direkt weiter, während sie bei einer Polstelle, die eine Asymptote andeutet, aus dem Unendlichen kommt bzw. ins Unendliche geht. Rechnerisch lassen sie sich dabei wie folgt untescheiden:
Eine Definitionslücke ergibt genau wie eine Postelle sich im Nenner einer Ganzrationalen Funktion. Solle hier x für einen bestimmten Wert nicht definiert werden, muss zuerst geprüft werden, ob man über Polynomendivison diesen Wert für x aus dem Zähler herausholen kann, so dass sich (x – Wert) kürzen lässt.
Beispiel 1:
über Kürzen kann man aber auf die Gleichung
kommen, die für alle Werte von x definiert ist. Hierbei haben wir nun also das gleiche Bild wie die Funktion f(x) = x bildet, mit dem unterschied, dass an der Stelle x = 0 eine Definitionslücke existiert.
Beispiel 2:
Da es sich im Zähler aber um ein Binom handelt, das man wie folgt auflösen kann
Das kann man nun kürzen, so dass nur noch die Funktion
übrig bleibt. Damit ergibt sich für x = -2 eine Definitionslücke, an der die Funktion ein Loch hat.
Beispiel 3:
Klammert man nun im Zähler und im Nenner aus, so erhält man:
Dies kann man nun kürzen, so dass sich
ergibt. Diese Funktion hat damit eine Definitionslücke an der Stelle x = 1.
Im dritten Beispiel ist auch schon die Möglichkeit einer Polstelle eingebunden. Sollte auch nach dem Kürzen noch ein Therm im Nenner stehen, der sich nicht herauskürzen lässt, so handelt es sich bei dem entsprechenden nicht definierten x-Wert um eine Polstelle. Postellen sind Stellen im Graphen, denen sich die Funktion immer weiter annähert, aber nie erreicht. Die dabei gebildeten Asymptoten sind senkrechte Asymptoten.
Abgesehen von senkrechten Asymptoten gibt es aber auch noch waagrechte und schiefe Asymptoten. Waagrechte Asymptoten erhält man, wenn man den Grenzwert der Funktion für x → ±∞ berechnet:
Beispiel 1:
gelöst ergibt sich:
dadurch erhalten wir in beiden Richtungen der x-Achse eine Annäherung an die Asymptote y = 0
Beispiel 2:
ergibt aufgeteilt in positiven und negativen Teil:
Hier haben wir also eine Annäherung an die Asymptote y = 3 für den Graphen in Richtung +∞, und eine Annäherung an y = 0 für x → -∞.
Als letztes etwas komplizierteres Element gilt es dann noch etwaige schräge (oder auch parabolische etc.) Asymptoten zu berechnen. Dies erreicht man, indem man eine Polynomendivision des Zählers durch den Nenner durchführt. Nach der Polynomendivision ergibt der Teiltherm vor dem Resttherm die Gleichung der Asymptoten. Als Bedingung für die Existens schiefer Asymptoten muss das Zählerpolynom einen um mindestens eins höheren Grad haben als das Nennerpolynom.
Beispiel:
Polynomendivision:
Dadurch erhalten wir nun den Therm x + 2 als Therm für die Asymptote, wodurch die Asymptotenfunktion
lautet.
3. Symmetrieeigenschaften
Für die Symmetrieeigenschaften einer Funktion gibt es zwei Möglichkeiten:
(a) Achsensymmetrie:
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) = f(-x) gilt.
Bei ganzrationalen Funktionen kann man dies auch daran erkennen, dass der Funktionstherm nur gerade Exponenten enthält.
(b)Punktsymmetrie:
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) gilt.
Auch hier kann man bei ganzrationalen Funktionen dies bereits daran erkennen, dass die Funktion nur ungerade Exponenten enthält.
Sollte eine Funktion weder mit der einen noch mit der anderen Bedingung übereinstimmen, so ist sie nicht symmetrisch.
4. Schnittpunkte mit den Achsen
Beim Untersuchen der Funktion sind die Schnittpunkte mit den Achsen weitere nützliche Merkmale einer Funktion. Unterscheiden kann man zwischen Schnittpunkten mit der x-Achse (von denen es beliebig viele geben kann) und Schnittpunkten mit der y-Achse (von denen bei einer Funktion nur einer existieren darf).
Der Schnittpunkt mit der x-Achse errechnet sich, in dem man f(x) = 0 setzt, da der y Wert an der Stelle des Schnittpuktes immer null sein muss. Ebenso verfährt man bei der Bestimmung der Schnittstelle mit der y-Achse, hier muss der x-Wert gleich 0 sein, so dass man nur den Wert der Funktion an der Stelle x = 0 ausrechnen muss.
4. Extrema (Hoch und Tiefpunkte)
Bei den Extrempunkten einer Funktion gibt es zwei verschiedene Sorten, die Hoch- und die Tiefpunkte. Beide sind im genauen nur lokale Hoch- und Tiefpunkte, sie bedeuten nicht, dass die Funktion sie an einer anderen Stelle wieder über- oder unterschreiten darf!
Zur Berechnung von Extrema benötigt man mindestens die erste und die zweite Ableitung einer Funktion. Nun gelten folgende Bedinungen: An der der Stelle, an der die Funktion einen Extremwert hat, ist die Steigung der Funktion null. Folglich muss f′(x) = 0 sein. Rechnet man dieses aus und erhält werte für x, so muss man diese nun in die zweite Ableitung einsetzten. f″(x) muss nun an diesen Stellen ungleich null sein. Im Allgemeinen reicht dies zur Bestimmung der Extrema. Erhält man bei der zweiten Ableitrung als Ergebnis nun einen negativen Wert handelt es sich bei dem Extrema an der eingesetzten Stelle um einen Hochpunkt, ist das Ergebnis positiv liegt ein Tiefpunkt vor.
Beispiel:
Somit erhalten wir x = 3 für die x-Koordinate des Extremas. Dies überprüfen wir nun:
Hiermit bestätigt sich die Annahme, dass an der Stelle x = 3 ein Extrempunkt ist, und da f″(x) größer null ist handelt es sich hierbei um einen Tiefpunkt:
PTP(3/4)
Für den Fall, dass nun auch in der zweiten Ableitung das Ergebnis null ist, kann man die Untersuchung fortsetzen. Man bildet nun die jeweils folgenden Ableitungen f(III)(x) etc. und setzt jeweils wieder den gefundenen x-Wert ein, bis dass Ergebnis ungleich null ist. Ist die Ableitung, bei der dies geschieht eine gerade Ableitung (f″(x), f(IV)(x), f(VI)(x), etc.) so handelt es sich um eine Extremstelle, ergibt sich der Wert aber bei einer ungeraden Ableitung handelt es sich nicht um einen Extrempunkt, sondern vermutlich um einen Sattelpunkt (s.u.).
Beispiel:
mit null gleichgesetzt erhält man:
Bei der Überprfugn der zweiten Ableitung erhält man nun allerdings auch null, so dass man die Überprüfung fortführen muss:
Bei der vierten Ableitung erhält man nun einen Wert ungleich null, und da die vierte Ableitung eine gerade Ableitung ist, haben wir herausgefunden, dass an der Stelle x = 0 ein Extrempunkt existiert, der, da f(IV)(x) größer als null ist, ein Tiefpunkt ist.
5. Wendepunkte
Wendepunkte eienr Funktion geben die Stelle an, in der eine Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve wechselt oder umgekehrt.
Zur Berechnung der Wendepunkte wird die zweite und dritte Ableitung benötigt. Setzt man f″(x) = 0, und löst das ganze auf erhält man mögliche Wendestellen. Diese muss man nun auch wieder wie bei den Extremstellen überprüfen, was über die dritte Ableitung geht. Hier muss für die eingesetzte Wendestelle ein Wert ungleich null herauskommen. Sollte dies nicht der Fall sein, muss man auch hier wieder so lange prüfen, bis eine Ableitung ein Ergebnis ungleich null ergibt. Allerdings gilt bei den Wendepunkten, dass man einen gültigen Wendepunkt hat, wenn die Ableitung ungerade ist. Sollte eine gerade Ableitung herauskommen ist die errechnete Stelle kein Wendepunkt.
Zusätzlich gibt es bei den Wendepunkten noch einen Sonderfall. Sollte an einem Wendepunkt die Steigung des Graphen, d.h. die erste Ableitung, auch null sein, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Dieser verhält sich wie ein normaler Wendepunkt, verrät einem aber zusätzlich, dass die Kurve zu dieser Stelle hin abflachen muss, da ein Sattelpunkt wie bereits gesagt eine Steigung von null hat
Mit diesen Informationen lässt sich in vielen Fällen bereits ein brauchbarer Graph zeichnen. Trotzdem ist es ratsam noch eine Wertetabelle anzulegen, mit der sich einige Details etwas genauer darstellen lassen. Als Beispiel kann man die beiden Funktionen f(x) = x2 und g(x)=x1000 betrachten. Obwohl für beide exakt die selben Werte herauskommen, haben sie einen wesentlich steileren Anstieg und sind somit in der Zeichnung doch ziemlich verschieden.