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Aufgaben und Lösungen aus der offiziellen pdf-Datei des Ministeriums

Aufgaben Arbeitsblatt Abitur.NRW 2007
Lösungen der Aufgaben Arbeitsblatt Abitur.NRW 2007

Meine Lösungen:

a) Aum zu begründen, dass der Graph G(g) auch zur Funktion g(x) gehört und der Graph G(f) zur Funktion f(x), gibt es mehrere mögliche Möglichkeiten, die sich als möglich erweisen werden. Aber ich werde hier nur auf eine, und zwar die meiner Meinung nach einfachste eingehen:

Betrachten wir die Graphen in der Zeichnung, so stellen wir fest, dass der eine Graph im negativen x Bereich auch negative y-Werte hat, während der andere Graph wieder ins Positive läuft (bzw. von dort kommt). Vergelichen wir jetzt die Funktionen, so können wir diese unterscheiden: Beide beinhalten den gleichen e-Term, der nie < 0 werden kann. Also muss der andere Faktor < 0 werden können. Dies ist nur in der Funktion f(x) der Fall, wodurch wir den Grafhen G(f) nun eindeutig der Funktion f(x) zuordnen können.

Zur Untersuchung, ob der Wendepunkt an der gleichen Stelle liegt wie der Hochpunkt benötugen wir zuerst die Ableitungen der Funktionen:

Berechnen wir nun den Hoch- und den Wendepunkt:

Notwendige Bedingungen:

Hinreichende Bedingungen:

Somit wäre bewiesen, dass der Hochpunkt von g(x) und der Wendepunkt von f(x) am gleichen Punkt liegen. Dieser Punkt hat weiterhin die y-Koordinate:

HP/WP (2; 4)

b) Das Dreieck, dass hierbei erforderlich ist kann Beschrieben werden, indem man das Dreieck nimmt, dass sich aus u, dem Ursprung und g(u) bildet und das Dreieck aus u, dem Ursprung und f(u) abzieht:

mit

Wodurch wir die Funktion haben:

Das Maximum erhalten wir nun über die erste Ableitung:

Da u > 2 sein soll bleibt nur u = 4 übrig. Überprüfen wir dies nun, ob es ein Hochpunkt ist. Dies können wir machen, in dem wir Punkte in der direkten Umgebung vergleichen:

Wodurch wir den Hochpunkt gefunden haben und das Dreieck bei einem u von 4 zu finden ist.

c)

(1) “h entsteht aus f durch Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/60, Streckung in y-Richtung mit Faktor 10 und Einschränkung auf 0 R⁺” (Zitat offizielle Lösung)

Stammfunktion:

Durch Ableiten der Funktion H(t) erhält man h(t):

(2) 21.15:

Minuten von 20.15 Uhr bis 21.15 Uhr = 60 min

Um 21.15 sind es ungefähr 54 Anrufe pro Minute (durchschnittlich)

Mitternacht (24.00)

Minuten von 20.15 Uhr bis Mitternacht = 225 min

Um Mitternacht sind es im Schnitt 13 Anrufe pro Minute.

Die Anrufe bis Mitternacht lassen sich über das Integral der Funktion von 0 bis 225 MInuten bestimmen:

Bis Mitternacht gibt es ungefähr 7876 Anrufe

(3)

Dabei gilt

,

so dass der gesamte rechte Teil = 0 wird

Dadurch haben wir eine Maximalzahl an Anrufen von ungefähr 8866, was bedeutet, dass egal wie lange die Sendung laufen würde nie mehr als 8866 Anrufer anrufen würden. Für einen Realfall einer längeren Sendung wäre die Funktion damit eher ungeeignet, da immer davon auszugehen ist, dass nochmal jemand anruft.

Heut war endlich die so lang erwartete Physik Klausur. Erwartet eigentlich nur deswegen, weil das bedeutet, dass ich nicht länger für diese Physik Klausur lernen muss. Diese weil es ja noch die Abweichungsprüfung gibt .

Soll eigentlich heißen, dass ich von der Klausur alles andere als begeistert war. Also, wenn mans genau nimmt fings ja ganz nett an. Schülerexperiment, d.h. fröhlich aufbauen, messen, alles recht einfach, und die Messergebnisse waren auch sehr schön. Naja, dann kam der Rest der Aufgabe. Der war weniger schön, und der intelligente Schüler weiß: Was ich nicht weiß, das lass ich erstmal weg. Also weiter zu Aufgabe 2. das war schön, das war nämlich der Frank-Hertz Versuch. Und den konnte ich. Also angefangen zu schreiben, zu rechnen, und alles lief eigentlich mehr oder weniger flüssig. Ok, sind vermutlich einige kleinere und einige größere Fehler drin, aber im großen und ganzen. Unpraktischerweise beschloss die Aufgabe dann auch am Ende etwas komischer zu werden. Irgendwie unlogisch, da passte plötzlich überhaupt nichts mehr. Jedenfalls nicht so, wie ich es erwartet hätte. Also auch hier erstmal fröhliches raten, und dann wieder an Aufgabe 1. Hier kam dann nach einiger Zeit auch der entsprechende Geistesblitz, so dass ich tatsächlich eine Teilaufgabe praktscih vollständig lösen konnte. Nur: Für die nächsten beiden fehlte mir irgendwie die Zeit. Die kryptografischen Zeichen, die ich dann noch hingekritzelt habe und die von einem entfernten Versuch zeugen, eine Lösung zu finden sind dabei auch nicht allzu hilfreich…

Schließlich würd ich damit sagen habe ich eine wunderschöne Physik Klausur hinter mir, die ich wohl besser so schnell wie möglich wieder vergesse. Das einzige was ich jetzt hoffe ist, dass es mind. 8 Punkte, d.h. 3x wird… sonst muss ich in die Abweichung .

Ansonsten.. ahja, was ich noch nicht erzählt habe:
Nachdem ich in den Osterferien (da, wo meine Eltern net da waren) so viele Kuchen gebacken habe haben mir Mum und Dad nen Tortenbackbuch mitgebracht. Also hab ich mal angefangen eine Sachertorte zu backen. Naja, muss noch den Feinschliff machen, bin mal gespannt wie sie wird. Wenn sie klappt werd ich mich danach an einer Weisse-Mousse-Torte Versuchen. Auf dem Bild sieht des Ding voll legga aus..

So far für today.. and bis demnächst!

Aufgaben:

An einem Denkmalgeschützten Turm müssen Restaurierungsrabeiten vorgenommen werden. Das Dach soll neu gedeckt werden und laut den neuesten Sicherheitsrichtlinien muss eventuell auch ein Schneefanggitter montiert werden. Der Turm hat eine Gesamthöhe von 21,6 m. Sein Dach hat die Form einer senkrechten Pyramide mit einer Höhe von 2 m.

Die Eckpunkte des Grundquadrats der Pyramide befinden sich in der x₁-x₂-Ebene und haben die Koordinaten

A (0;0;0)
B (b₁;b₂;b₃)
C (6;6;c₃)
D (d₁;d₂;d₃)

Die Pyramidenspitze S hat die Koordinaten

S (3;3;2)

a) Ergänzen Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte B, C und D.
Auf welcher horizonatlen Ebene E steht der Turm?
Welcher Maßstab wird hier verwendet?

b) Wie groß ist die gesamte Dachfläche?

c) Die Dachneigung ist ausschlaggebend für die Notwendigkeit von Schneefanggittern. Ist sie größer als 30°, so muss ein Gitter montiert werden. Berechnen Sie, ob ein Gitter angebracht werden muss!

d) Entscheiden Sie, ob im Inneren des Daches vom Punkt C aus eine zur Kante [AS] orthogonale Stützstange eingebaut werden kann.

e) Um sich einen besseren Überblick zu verhschaffen, geht ein Bauarbeiter, dessen Augenhöhe 1,60 m beträgt, vom Turm aus rückwärts. Seine Augen bewegen sich dabei auf der Geraden:

Welche Entfernung hat der Bauarbeiter von der ihm zugewandten rechteckigen Fläche des Turms in dem Augenblick, in dem er die Turmspitze zum ersten Mal sehen kann?

Lösungen:

Da wir uns in der x₁-x₂-Ebene befinden, wissen wir, dass die x₃ Koordinate in jedem Punkt 0 ist. Weiterhin haben wir durch den Punkt C die Änderungen auf der x₁ und x₂ Achse gegeben, bzw. können sie Alternativ auch aus dem Punkt S herleiten, der in der Mitte des Quadrats liegen muss. Damit erhalten wir für die Punkte B und D:

B (0;6;0)
D (6;0;0)

Der Maßstab ist hierbei 1:1, d.h. eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter. Dies kann man daran erkennen, dass das Dach laut Aufgabe 2 m über der Dachgrundfläche liegt, und wir bei den Punkten eine Änderung von x₃ um 2 Einheiten haben. Die horizontale Ebene E, auf der der Turm steht, befindet sich 21,6 m unter der Turmspitze, wodurch wir die x₃-Koordinate einfach um 21,6 verringern müssen, um einen Punkt in dieser Ebene zu erhalten. Weiterhin wissen wir, dass die Ebene horizontal ist, weswegen wir als Normalenvektor der Ebene einen senkrechten Vektro (x₃ = 1) annehmen können:

b) Die gesamte Dachfläche besteht aus 4 gleich großen Dreiecken. Folglich reicht es die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. In diesem Beispiel berchne ich die Fläche ASD.

Die Grundseite AD hat eine Länge von 6 m.
Für die Höhe können wir folgende rechnung machen:

Wir kennen die Spitze durch den Punkt S. Weiterhin können wir die Mitte der Grundseite berechnen:

Bilden wir die Entfernung dieses Punktes von der Spitze erhalten wir den Vektor:

Die Länge dieses Vektors ist

Damit hätten wir auch die Höhe, und können nun die Fläche des Dreiecks ausrechnen:

Diese Fläche haben wir nun 4 mal, wodurch sich schließlich ergibt:

c) Wir benötigen hier den Winkel zwischen dem vektor der Ebene und einem Vektor von der Mitte einer Dachseite zur Spitze. Als Mitte wählen wir hierbei wieder

Wodurch sich der Vektor zur Spitze von

ergibt. Als Ebenenvektor brauchen wir nun einen Vektor, der in der selben x₃ – Ebene verläuft wie der Vektor MS. Dies ist in diesem Fall

,

wie sich leicht aus der Zeichnung ersehen lässt. Da wir hier diese Vektoren Stellvertretend für Geraden haben, können wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren mit Hilfe des cosinus ausrechnen:

Daraus kann man sehen, dass der Winkel größer als die angegebene Grenze von 30° ist, weswegen Schneefanggitter befestigt werden müssen.

d) Um diese Aufgabe zu lösen bilden wir zuerst eine Ebene, die die Kante [AS] als Normalenvektor hat und C als Punkt:

Jetzt können wir den Schnittpunkt der Gerade, die durch A und S verläuft mit der Ebene bestimmen, um herauszufinden an welchem Punkt die Stütze ansetzten würde. Die Gerade g lautet hierbei:

Die Ebene in Koordinatenform umgeformt lautet:

Jetzt können wir die Gerade und die Ebene gleichsetzten

Dadurch erhalten wir beim Einsetzen:

Dieser Punkt liegt aber nicht mehr auf der Strecke zwischen A und S, weswegen der Stützpfosten außerhalb des Daches befestigt werden müsste. Erkennt man die Problematik dieser Sachlage, kann man schnell feststellen, dass dieser Stützpfosten nicht ohne größere Umbauarbeiten eingebaut werden kann.

e) Gehen wir davon aus, dass der Bauarbeiter am Stützvektor der Geraden e los geht, können wir hier deutlich sehen, dass er sich in der Mitte der Seite AB aufhält (x₂ = 3). Die Spitze kann er dabei sehen, wenn von seinen Augen zur Spitze eine Gerade besteht, die mindestens der Geraden von S durch die Mitte der Seite AB entspricht oder noch flacher ist. Da hier nach der kleinsten Entfernung gefragt ist, müssen sich die beiden geraden entsprechen, so dass wir die Gerade von S durch die Mitte von AB benutzen können:

Nun können wir den Schnittpunkt der Gerade g und e bestimmen:

Daraus ergibt sich:

Da u gleich auch der Abstand des Bauarbeiters von der Fläche des Turms ist, bei der er losgegangen ist, können wir hieraus schließen, dass der Bauarbeiter -27 Einheiten auf der x₁ – Achse marschiert ist, jetzt also einen Abstand von 27m vom Turm hat. Damit hätten wir den Abstand bestimmt. Interessant ist jetzt alerdings die Frage, ob er an dieser Stelle wirklich schon die Spitze sieht, oder ob er nicht gerade noch die Kante sieht, und die Spitze ert sehen kann, wenn er ein klitzekleines Stückchen weiter weg gegangen ist. Denn eigentlich geht sein Blick an dieser Stelle ja immernoch erst durch die Kante und trifft danach auf die Spitze – folglich ist die Kante in seinem Blick, und die Spitze verdeckt. Aber vermutlich hat der Autor dieser Aufgabe solche Spitzfindigkeiten nicht erwartet .

Der radioaktive Zerfall ist ein Prozess, dem viele Atome unseres Periodensystems unterliegen. Zu unterscheiden sind verschiedene Arten des radioaktiven Zerfalls:

α – Strahlung:

Bei der Alpha-Strahlung zerfällt ein Atom in ein Alpha-Teilchen und ein Atom, dessen Protonenzahl um zwei geringer ist als die des Ausgangselements. Das Alpha-Teilchen besteht aus 2 Protonen und 2 Neutronen und hat damit die gleiche Konfiguration wie ein Heliumkern.

β – Strahlung:

Man unterscheidet zwei Arten von Beta-Strahlung. Bei der Beta-Minus-Strahlung zerfällt ein Neutron in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino, dass für den Massenerhalt zuständig ist. Bei der Beta-Plus-Strahlung zerfällt ein Proton in ein Neutron, ein Positron und ein Neutrino.

γ – Strahlung:

Bei der Gamma-Strahlung handelt es sich um elektromagnetische Strahlung. Der Atomkern befindet sich nach einem Alpha- oder Beta-Zerfall häufig in einem nicht stabilen Zustand, so dass er sich neu ordnet. Bei dieser Neuordnung wird Gamma-Strahlung frei.

n – Strahlung:

Neutronenstrahlung tritt meist nicht natürlich auf. Sie ist die Folge einer Kernreaktion, und besteht aus Neutronen.

Dieses Bild stellt das schemenhafte Diagramm eines Szintillationszählers dar, mit dem das Spektrum von Co60 gemessen wurde. Die wichtigsten Merkmale des Diagramms wurden dabei hervorgehoben und werden im Folgenden erklärt:

Photopeaks:

Die Photopeaks sind die einfachsten zu erklärenenden Merkmale des Diagramms. Da Co60 zwei verschiedene Strahlungen aussendet, gibt es zwei Photopeaks, die beide durch den Photoeffekt der Strahlung mit dem im Zähler vorhandenen Stoff zustande kommen.

Compton-Kanten:

Die Compton Kanten sind die maximalen Energieen, die die Stralung beim Compton-Effekt an Elektronen übergibt. Diese berechnet sich, indem man die Wellenlängen der Strahlungen von Cobald berechnet, und dann die maximale Änderung der Wellenlänge beim Compton-Effekt addiert. Da die maximale Änderung die Umkehrung der Strahlung ist (d.h. Winkel = 180°), und der Cosinus von 180° = -1 ist, kann man die maximale Änderung immer als die doppelte Compton-Wellenlänge angeben, also Δλ = 4,86 pm. Dadurch ergibt sich an diesem Beispiel:

Addieren wir dazu jeweils die doppelte Compon-Wellenlänge erhalten wir:

Berechnen wir nun wieder die zugehörigen Energien, erhalten wir:

Damit hätten wir nun die maximale Energie, die die Photonen nach dem Compton-Effekt noch haben. Folglich muss der Rest der Energie an das Elektron übergeben worden sein, so dass für die Elektronen folgende Energien als Maximum gelten:

Natürlich können auch sämtliche kleineren Energien an das Elektron übertragen worden sein, so dass ab der Comtpon-Kante der ganze Bereich bis zur y-Achse entlang die Energieübertragung vom Compton-Effekt nachgewiesen werden kann.

Paarbildungs-Peaks:

Von den Paarbildungs-Peaks gibt es zwei, wobei der doppelte nur bedeutet, dass beide weggestrahlten Energien aufgefangen wurden. Paarbildung ist dabei von beiden Strahlungen her möglich, wobei allerdings direkt kein Unterschied gemacht werden kann, da bei der Paarbildung schließlich immer die selbe Energie aufgewandt werden muss. Ein Folgeeffekt der Paarbildung unterscheidet allerdings die Strahlungen, und zwar die aufgefangene kinetische Energie bei der Paarbildung. Da bei den beiden Strahlungen von Co60 veschieden viel Energie als kinetische Energie übergeben wird, kann man hier zwei verschiedene Peaks feststellen. Diese berechnen sich wie folgt:

Die Energie der Strahlung (in diesem Beispiel nur 1322 keV) wir zu einem gewissen Teil zur Paarbildung ‘verbraucht’

Die restliche Energie wird gleichmäßig auf beide Teilchen verteilt, so dass beide gleich viel kinetische Energie haben:

Damit hätten wir die kinetische Energie eines Teilchen, die vom Zähler teilweise aufgefangen wird und als kleiner Peak zu sehen ist. Die 1170 keV Strahlung hat diesen Peak bei 74 keV.

Rückstrahlpeak:

Der Rückstrahlpeak ist ein Nebeneffekt des Compton-Effekts, die der Strahlung übrig gebliebene Energie (209,5 keV und 214 keV) wird hier gemessen, fällt aber nicht besonders ins Gewicht.

Der Szintillationszähler ist ein weiterer Zähler zum Messen von Strahlung. Sein Aufbau sieht wie folgt aus:

Das ankommende Quant trifft im Zähler als erstes auf den Szintillator, der meistens aus Natriumjodid (NaI) besteht, dem ca. 0,1% Thallium hinzugefügt wird. Hier wird die eingehende Energie abgefangen und in einen Lichtblitz umgewandelt, der von der Photokathode registriert wird. Diese sendet dann wiederrum mindestens ein Elektron aus, das im Photomultiplier vervielfacht wird, so dass am Ende die bis zu 1024fache Menge an Elektronen vorliegt. Dadurch lässt sich nun ein Stromfluss nachweisen, der für die schließlich gemessene Zählrate ‘weiterverarbeitet’ wird. Schließlich erhält man daraus ein Energie-Anzahl-Diagramm.

Nachdem wir jetzt den Photo- und den Compton-Effekt besprochen haben möchte ich hier noch eine dritte Energie/Materie-Wechselwirkung ansprechen, die Paarbildung. Diese findet allerdings nur statt, wenn das Quant eine Energie hat, die größer ist die doppelte Ruheenergie eines Elektrons. Sollte dies der Fall sein, bildet sich in dem Coulombfeld eines Atoms ein Positron/Elektron – Paar. Der Grund, warum es in der Nähe eines Atoms stattfinden muss, ist, dass aufgrund der Impulserhaltung etwas Energie an einen weiteren Partner übergeben werden muss.

Sollte das Quant eine höhere Energie als die doppelte Ruheenergie haben, so wird der Rest der Energie gleichmäßig auf das Elektron und auf das Positron als kinetische Energie verteilt. Die minimale Energie berechnet sich durch:

Zu bedenken ist hierbei, dass das Gebilde durch das Antimaterieteilchen (das Positron) in normaler Umgebung nicht lange stabil bleibt, da ein Zusammentreffen eines beliebigen Elektrons und eines Positrons zwangsläufig in der Auslöschung beider Teilchen endet, wobei die den Teilchen gegebene Energie wieder freigesetzt wird (pro Teilchen 511 keV).