Mein Blögchen für alles!

..oder: Das Billiard der Strahlen

Neben dem Photoeffekt gibt es eine weitere Strahlung-Materie-Wechselwirkung, den sogenannten Compton-Effekt. Diesen kann man sich so vorstellen, als dass die Strahlen auf ihrem Weg ein Elektron treffen. Diesem übertragen sie nun eine gewissen Menge Energie, so dass das Elektron nun eine gewisse Menge kinetischer Energie erhalten hat. Dadurch wurde dem Quant Energie entzogen, so dass sich seine Wellenlänge vergrößert hat. Stellen wir diesen Prozess bildlich dar, so erhalten wir fogendes Bild:

Betrachten wir nun für dieses Diagramm die Erhaltungssätze, so haben wir:

Energieerhaltung:

Impulserhaltung:

Ableiten der Impulserhaltung mit Hilfe des Kosinussatzes

Kleine Buchstabenkunde:
E = Energie des Quants vorher
E’ = Energie des Quants nach dem Stoss
E_e = Energie des Elektrons vorher
E_e‘ = Energie des Elektrons nach dem Stoss
sowie gleiche Notation für die Impulse
Nun können wir folgende Umformungen vornehmen:

|

Mit der Gleichsetzung

und

können wir dies umformen zu

Nach der Energieerhaltung gilt jetzt ,
was sich umformen lässt zu ,
wodurch wir erhalten:

Was man nun erstmal eine Weile auflösen kann:

|

|

Wodurch wir schließlich das Ergebnis

erhalten. Der Faktor ist dabei konstant und nennt sich Compton-Wellenlänge:

Der Aufbau eines Zählrohrs sieht wie folgt aus:

Trifft durch die Öffnung vorne ein Quant im Zählrohr ein, so kann es durch den Photoeffekt an der Wand des Zählrohrs ein Elektron lösen. Dieses gelöste Elektron fühlt sich nun durch die angelegte Spannung Richtung Draht in der Mitte gezogen, weshalb es zielstrebig und vorzugsweise auch recht schnell darauf zu fliegt. Auf dem Weg zm Draht trifft es dabei immer mal wieder andere Atome oder Moleküle, denen es ein Elektron entreißt, so dass sich die Anzahl der Elektronen nach dem Schneeballsystem erhöht. Dabei bewegen sich die durch das ausreißen der Elektronen gebildeten Ionen in die Richtung der Wand des Zählrohrs, die Elektronen weiter richtung Draht. Dadurch entsteht ein Stromfluss, der gemessen werden kann und der somit als Nachweis für Strahlung gilt. Welche Strahlung dabei nachgewiesen wird hängt dann natürlich von dem Material der Wand ab!

Nach unsereren Ergebnissen aus dem Versuch zum Photoeffekt haben wir festgestellt, dass anscheinend UV-Quanten eine höhere Energie an die Elektronen übergeben als andere Lichtquanten. Es lässt sich also vermuten, dass die Energie der Quanten abhängig ist von der Frequenz des Lichts. Um dies zu untersuchen nehmen wir Lichtquellen, deren Frequenzspektrum möglichst auf eine Frequenz beschränkt ist und ermitteln über die Gegenspannungsmethode die Energie der Lichtquanten.

Tragen wir die kinetische Energie der Elektronen in Abhängigkeit von der Freuqenz nun auf einen f,E-Graphen auf, so erhalten wir beim Verbinden der Punkte optimalerweise eine Gerade. Um über diese Gerade die Energie von Photonen anderer Frequenz bestimmen zu können, müssen wir die Steigung der Geraden bestimmen. Diese Steigung wird dabei als Planck`sches Wirkumsquantum h bezeichnet, mit dem Wert:

Ziehen wir die Gerade weiter durch die x-Achse durch bis zum Treffpunkt mit der y-Achse, d.h. der Frequenz 0 so können wir aus ihm noch zwei weitere Werte auslesen:

Zum Einen haben wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, erst ab dieser Frequenz haben die Elektronen in der Photozelle genug Energie durch die Photonen erhalten, dass sie in der Lage sind die Photozelle zu verlassen. Niedrigere Frequenzen liegen mit der Energie so niedrig, dass sie die Austrittsarbeit nicht überschreiten können. Haben wir festgestellt, dass die Energie auf der Höhe von y = 0 die Energie ist, die die Elektronen mindestens brauchen, so kann man daraus schlussfolgern, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse die Energie angibt, die die Elektronen brauchen, um die Photozelle zu verlassen, also die Austrittsarbeit. Diese ist in diesem Fall negativ, da die aufzubringende Arbeit entgegengesetzt der die Elektronen haltenden Arbeit wirken muss.

Wir bauen folgenden Versuch auf:

Dabei lässt sich beobachten, dass trotz eines offensichtlich nicht geschlossenen Stromkreises ein Strom fließt. Hält man allerdings eine Pappe vor die Hg-Dampflampe, so hört der Stromfluss auf. Selbiges ist auch zu beobachten, wenn man die Sichtlinie zwischen der Zinkplatte und der Lampe mit einer Glasplatte ‘blockiert’. Die Schlussfolgerung ist also, dass es Elektronen aus der Zinkplatte irgendwie schaffen sich rauszulösen, den Zug richtung Spirale nehmen, dort in das Metall umsteigen und durch das Amperemeter zur Spannungsquelle düsen.

Überdenken wir den Versuchsaufbau klassisch, so können wir als Energie, die auf ein Atom in der Zinnplatte trifft folgende Berchnung durchführen:

Die Hg-Dampflampe hat einen Abstand von 40cm von der Zinkplatte und eine Leistung von 100W; für die Größe eines Zinkatoms nehmen wir 10^-10 m an. Damit hätten wir beim Atom eine relevante Oberfläche von:

mit

Die Gesamtoberfläche einer imaginären Kugel, die das von der Hg-Lampe ausgestrahlte Licht darstellt, hat bei einem Radius von 40cm (= Abstand zur Zinkplatte) eine Gesamtoberfläche von

mit

Damit ist die anteilige Oberfläche des Atoms an der Gesamtkugel

,

was bei einer Leistung von 100 Watt bedeutet, dass auf ein Atom die Energie von 3,906 * 10^-19 Watt fällt.
Da als Auslösearbeit eines Elektrons aus einem Atom eine Energie von ≈ 1,6 * 10^-16 J nötig ist, können wir rechnen:

Dies würde wiederrum bedeuten, dass es ungefähr sieben Minuten dauert, bis sich das erste Elektron aus der Zinkplatte löst. Bei der Beobachtung des Versuchs haben wir aber festgestellt, dass sofort ein Stromfluss aufgetreten ist. Folglich müssen wir eine andere Erklärung für dieses Phänomen suchen.

Die Lichtquantentheorie

Also Lösung des Problems bietet sich die Lichtquantentheorie an, nach der das das Licht aus Teilchen, so genannten Quanten besteht, die verschiedene Energien haben. Für unser Experiment ist dabei anscheinend nur die Energie von UV-Quanten ausreichend, um aus der Zinkplatte Elektronen zu lösen. Elektronen, die aus der Zinkplatte, der sogenannten Photozelle, gelöst werden, nennen wir im Folgenden Photoelektronen, der Effekt, durch den die Elektronen gelöst werden ist der Photoeffekt.

Der interessierte Physiker will nun natürlich wissen, welche Energie die Photonen haben. Dazu ersinnt er sich die Gegenspannungsmethode, mit Hilfe derer er die maximale Energie der Photonen erhalten kann. Diese basiert darauf, dass man zwischen der Photozelle (wir nehmen zu diesem Versuch Caesium, da es wesentlich weniger Energie benötigt um Elektronen abzugeben) und der Spirale eine Spannung anlegt, so dass die Spirale, die eigentlich die Elektronen aufnehmen soll, negativ geladen ist. Das dadurch erzeugte Gegenfeld bremst die aus der Photozelle gelösten Elektronen aus. Haben diese nun mehr Energie, als ihnen das Feld entgegenzusetzen mag, so kommen sie (jedenfalls die, die in Richtung der Spiralelektrode fliegen) trotzdem an, und ein Stromfluss ist messbar. Erst wenn kein Stromfluss mehr messbar ist, setzt das erzeugte Feld den Elektronen die Energie entgegen, die die energiereichsten Elektronen haben. Dadurch kann man dann über die Gleichung

die kinetische Energie der Elektronen ermitteln.

(Fortsetzung dieses Beitrags in Beitrag ‘Das Planck`sche Wirkumsquantum‘)

Betrachten wir das Beispiel einer Kugel, die mit einer Geschwindigtkeit w = 25 m/s auf eine Mauer zufliegt. Diese Kugel braucht bei einer Entfernung zur Mauer von 100m also t = 4s. Nun stellen wir zusätzlich zu diesem einen System noch ein weiteres System auf, dass sich parallel zur Mauer mit der Geschwindigkeit v = 0,6c bewegt.

Nach den Regeln der Zeitdilatation bedeutet das, dass die Kugel in diesem System t’ = 5s braucht:

Damit hat die Kugel in diesem zweiten System nur eine Geschwindigkeit w’ = 20 m/s.

Betrachten wir jetzt aber den Impuls der Kugel, mit dem sie auf die Mauer auftrifft, so haben wir für das Orginalsystem den Impuls

,

bei unserem anderen System aber

.

Da auch bei der Relativistik die Impulserhaltung gilt, müssen beide Impulse aber gleich sein, weswegen die einzige Möglichkeit ist, dass sich die Masse der Kugel im zweiten System vergrößert hat. Nehmen wir eine Masse von m = 1kg für unser erstes System, so können wir für unser zweites System die Masse ausrechnen:

Um die Änderung der Masse direkt auszurechnen, führen wir die Gleichsetzung der Impulse nun noch einmal mit den Variablen durch:

Mit m’ als bewegter Masse und m als Ruhemasse haben wir dadurch nun eine Formel, die es uns erlaubt die Massenzunahme zu berechnen.

Will man jetzt die Energie eines bewegten Teilchens bestimmen, so stellt man in Experimenten fest, dass die Formel W_kin= 1/2 m v² nicht anwendbar ist, da sie die falschen Ergebnisse liefert (bei hohen Geschwindigkeiten).

Deshalb suchen wir nun nach einer anderen Formel zur Bestimmung der Energie. Im folgenden werde ich dazu einige Umformungen vornehmen, in denen ich der einfachheit halber die Variablen k und β mit den Definitionen

ersetze.

Fangen wir an die Massendifferenz zwischen der Ruhemasse und der bewegten Masse zu bestimmen, so können wir folgende Umformungen vornehmen (m = bewegte Masse; m₀ = Ruhemasse):

Da wir nach den binomischen Formeln umformen können

,

können wir unser Ergebnis von oben mit (1 + k) erweitern (wir tuns einfach, auch wenns komisch erscheint )

Für kleine Geschwindigkeiten v wird β praktisch 0, wodurch wir für k = √(1 – β) = 1 haben:

, wobei W_kin= 1/2 m v²

Dadurch haben wir W_{kin,klassisch} ≈ mc² für kleine v in der Form W = 1/2 mv² bewiesen.
Da wir hier aber auch den relativistischen Teil betrachten wollen, müssen wir noch folgende Umformung vornehmen.
Nehmen wir wieder die Anfangsformel, so können wir diese mit c² erweitern. daraus folgt:

Da wir oben ermittelt haben, dass W_kin = mc² ist, können wir nun gleichsetzten:

Mit dem Satz, dass E = mc² ist, haben wir damit als Gesamtenergie eines Teilchens:

Ein ruhender Körper hat nun die die kinetische Energie W_kin = 0, aber er hat eine Ruheenergie von W₀= m₀c². Dadurch haben wir als relativistische kinetische Energie eines Körpers die Formel

Und als Gesamtenergie eines Teilchens

.

Damit hätten wir hier die Umformung zwischen Masse und Energie theoretisch bewiesen.

Will man die Geschwindigkeit eines Systems bestimmen, dass sich relativ zu einem anderen bewegt, so ging dies klassisch einfach, indem man die Geschwindigkeiten beider Systeme addierte. Betrachtet man diese Möglichkeit für relativistische Geschwindigkeiten, so wird man feststellen, dass dies aufgrund der Begrenzung durch die Lichtgeschwindigkeit nicht möglich ist.

Beispiel: Ein Zug fährt mit 0,6c durch einen Bahnhof auf dem du (ja, genau DU) stehst. Im Zug siehst du einen Schaffner einem Schwarzfahrer hinterherlaufen, der wiederrum seinem Hund hinterherläuft, der auf der Flucht vor einem anderen Hund ist, der… egal, ich schweife ab. Also jedenfalls läuft der Schaffner mit 0,5c in Fahrtrichtung hinter dem Schwarzfahrer her. Klingt komisch, ist aber so. Würde man die Geschwindigkeiten jetzt nach dem klasischen Prinzip addieren, so würde sich der Schaffner relativ zu dir mit einer Geschwindigkeit von 1,1c bewegen (ganz zu schweigen vom Schwarzfahrer und seinem Hund). Dies ist, wie uns bekannt ist, unmöglich, da nichts schneller ist als das Licht.

Jetzt suchen wir also einen Weg die Geschwindigkeit des Schaffners relativ zu dir zu berechnen. Wir wissen, dass man Geschwindigkeiten aus Weg durch Zeit berechnet, warum also nicht auch hier? Betrachten wir also hier, die Strecke Δx, die der Schaffner in der Zeit Δt relativ zu dir vorwärts kommt.

Hier können wir die x und die t mit den Gleichungend er Lorentztransformation ersetzen

– k kürzen
– Klammern auflösen
– umordnen
– ausklammern
– (t₂‘ – t₁‘) kürzen

Da wir gleichzeitig auch wissen, dass

gilt, können wir nun ersetzten:

Setzten wir nun unser Beispiel ein, erhalten wir folgendes Ergebnis:

Womit wir für den Schaffner relativ zu dir eine Geschwindigkeit von 0,846c hätten.

Betrachten wir die Wechselstromwiderstände in einer verschiedenen Schaltung, so können wir den Widerstand in Abhängigkeit von der Frequenz in einen Graphen aufzeichnen:

(1) RC-Schaltung
(a) Hochpass	(b) Tiefpass
(2) RL-Schaltung
(a) Hochpass	(b) Tiefpass
(3) LC-Schaltung
(a) Hochpass	(b) Tiefpass

(1) Da X_C abhängig ist von der Frequenz, sinkt der kapazitive Widerstand am Kondensator je höher die Frequenz ist. Dadurch fällt bei hohen Frequenzen kaum Spannung am Kondensator ab, so dass der Widerstand R für einen verhältnismäßig große Spannungsabfall sorgt. Bei kleinen Frequenzen fällt am Kondensator die größere Spannung ab, so dass der Widerstand kaum noch eine Rolle spielt.

(a) Beim Hochpass wird Spannung am Widerstand abgegriffen. Da der Kondensator kaum einen Widerstand bildet, ist der am Widerstand auftretende Spannungsabfall bedeutender, je höher die Frequenz ist. Dadurch kann man am Widerstand sehr gut hohe Frequenzen abgreifen und damit filtern.
(b) Um niedrige Spannungen heraus zu filtern kann man die Spannung am Kondensator abgreifen. Dieser bietet bei niedrigen Frequenzen einen hohen Widerstand, so dass der Strom vorzugsweise den Alternativweg geht, den das Abgreifend er Spannung ihm bietet.

Um sich zu entscheiden, ob man für die Frequenzen die man Filtern will einen Hoch- oder Tiefpoass braucht, kann man die Grenzfrequenz bilden, die sowohl am Kondensator, als auch am Widerstand gleich gut durch kommt. Diese kann man berechnen, indem man U_R und U_C gleichsetzt:

(2) In der RL-Schaltung haben wir durch X_L eine proportionale Abhängigkeit des Wechselstromwiderstandes der Spule zur Frequenz.

(a) Dadurch ist der Widerstand an der Spule um so größer, je größer die Frequenz ist, wodurch sich dort besonders die hohen Frequenzen gut abgreifen lassen.
(b) Im Gegenzug lassen sich am Widerstand besonders gut die nidriegen Frequenzen abgreifen.

Bei dieser Schaltung haben wir als Grenzfrequenz:

(3) Neben den einfachen RC und RL – Schaltungen können wir auch eine Spule und einen Kondensator in einem Schaltkreis kombinieren.

(a) Greift man die Spannung an der Spule ab, so hat man durch den hohen Widerstand der Spule bei hohen Frequenzen einen guten Filter für diesen Frequenzbereich.
(b) Da die Spule bei niedrigen Frequenzen kaum Widerstand bildet, der Kondensator dafür aber um so mehr, eignet sich der Kondensator gut, um niedrige Frequenzen zu filtern.

Der Vorteil des Spule/Widerstand Schaltkreises ist, dass man durch die beiden sich ändernden Widerstände eine schärfere Abgrenzung zwischen den gewünschten Frequenzen erreichen kann, als es in einem RC oder RL-Schaltkreis möglich ist. Allerdings hat man durch die Kombination des Kondensators und der Spule auch einen kleinen (Reihen-)Schwingkreis errichtet. Deshalb muss man mit einem vorgeschalteten, richtig dimensioierten Widerstand dafür sorgen, dass sich keine Resonanz bilden kann. Andersrum muss man aber auch darauf achten, dass der Widerstand den Strom nicht zu stark abschwächt, da die Kurve sonst abflacht und man den Vorteil einer LC-Schaltung nicht mehr nutzen kann.

Die Grenzfrequenz einer LC-Schaltung ist:

Um den Widerstand richtig zu dimensonieren muss er optimal durch folgende Gleichung beschrieben werden:

oder

***

Anmerkung:

1. Details entnommen von: Quelle

2. Bilder komplett selbst erstellt, daher kein Gewähr auf Richtigkeit