α – Strahlung:

Bei der Alpha-Strahlung zerfällt ein Atom in ein Alpha-Teilchen und ein Atom, dessen Protonenzahl um zwei geringer ist als die des Ausgangselements. Das Alpha-Teilchen besteht aus 2 Protonen und 2 Neutronen und hat damit die gleiche Konfiguration wie ein Heliumkern.

β – Strahlung:

Man unterscheidet zwei Arten von Beta-Strahlung. Bei der Beta-Minus-Strahlung zerfällt ein Neutron in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino, dass für den Massenerhalt zuständig ist. Bei der Beta-Plus-Strahlung zerfällt ein Proton in ein Neutron, ein Positron und ein Neutrino.

γ – Strahlung:

Bei der Gamma-Strahlung handelt es sich um elektromagnetische Strahlung. Der Atomkern befindet sich nach einem Alpha- oder Beta-Zerfall häufig in einem nicht stabilen Zustand, so dass er sich neu ordnet. Bei dieser Neuordnung wird Gamma-Strahlung frei.

n – Strahlung:

Neutronenstrahlung tritt meist nicht natürlich auf. Sie ist die Folge einer Kernreaktion, und besteht aus Neutronen.

Dieses Bild stellt das schemenhafte Diagramm eines Szintillationszählers dar, mit dem das Spektrum von Co60 gemessen wurde. Die wichtigsten Merkmale des Diagramms wurden dabei hervorgehoben und werden im Folgenden erklärt:

Photopeaks:

Die Photopeaks sind die einfachsten zu erklärenenden Merkmale des Diagramms. Da Co60 zwei verschiedene Strahlungen aussendet, gibt es zwei Photopeaks, die beide durch den Photoeffekt der Strahlung mit dem im Zähler vorhandenen Stoff zustande kommen.

Compton-Kanten:

Die Compton Kanten sind die maximalen Energieen, die die Stralung beim Compton-Effekt an Elektronen übergibt. Diese berechnet sich, indem man die Wellenlängen der Strahlungen von Cobald berechnet, und dann die maximale Änderung der Wellenlänge beim Compton-Effekt addiert. Da die maximale Änderung die Umkehrung der Strahlung ist (d.h. Winkel = 180°), und der Cosinus von 180° = -1 ist, kann man die maximale Änderung immer als die doppelte Compton-Wellenlänge angeben, also Δλ = 4,86 pm. Dadurch ergibt sich an diesem Beispiel:

Addieren wir dazu jeweils die doppelte Compon-Wellenlänge erhalten wir:

Berechnen wir nun wieder die zugehörigen Energien, erhalten wir:

Damit hätten wir nun die maximale Energie, die die Photonen nach dem Compton-Effekt noch haben. Folglich muss der Rest der Energie an das Elektron übergeben worden sein, so dass für die Elektronen folgende Energien als Maximum gelten:

Natürlich können auch sämtliche kleineren Energien an das Elektron übertragen worden sein, so dass ab der Comtpon-Kante der ganze Bereich bis zur y-Achse entlang die Energieübertragung vom Compton-Effekt nachgewiesen werden kann.

Paarbildungs-Peaks:

Von den Paarbildungs-Peaks gibt es zwei, wobei der doppelte nur bedeutet, dass beide weggestrahlten Energien aufgefangen wurden. Paarbildung ist dabei von beiden Strahlungen her möglich, wobei allerdings direkt kein Unterschied gemacht werden kann, da bei der Paarbildung schließlich immer die selbe Energie aufgewandt werden muss. Ein Folgeeffekt der Paarbildung unterscheidet allerdings die Strahlungen, und zwar die aufgefangene kinetische Energie bei der Paarbildung. Da bei den beiden Strahlungen von Co60 veschieden viel Energie als kinetische Energie übergeben wird, kann man hier zwei verschiedene Peaks feststellen. Diese berechnen sich wie folgt:

Die Energie der Strahlung (in diesem Beispiel nur 1322 keV) wir zu einem gewissen Teil zur Paarbildung ‘verbraucht’

Die restliche Energie wird gleichmäßig auf beide Teilchen verteilt, so dass beide gleich viel kinetische Energie haben:

Damit hätten wir die kinetische Energie eines Teilchen, die vom Zähler teilweise aufgefangen wird und als kleiner Peak zu sehen ist. Die 1170 keV Strahlung hat diesen Peak bei 74 keV.

Rückstrahlpeak:

Der Rückstrahlpeak ist ein Nebeneffekt des Compton-Effekts, die der Strahlung übrig gebliebene Energie (209,5 keV und 214 keV) wird hier gemessen, fällt aber nicht besonders ins Gewicht.

Das ankommende Quant trifft im Zähler als erstes auf den Szintillator, der meistens aus Natriumjodid (NaI) besteht, dem ca. 0,1% Thallium hinzugefügt wird. Hier wird die eingehende Energie abgefangen und in einen Lichtblitz umgewandelt, der von der Photokathode registriert wird. Diese sendet dann wiederrum mindestens ein Elektron aus, das im Photomultiplier vervielfacht wird, so dass am Ende die bis zu 1024fache Menge an Elektronen vorliegt. Dadurch lässt sich nun ein Stromfluss nachweisen, der für die schließlich gemessene Zählrate ‘weiterverarbeitet’ wird. Schließlich erhält man daraus ein Energie-Anzahl-Diagramm.

Sollte das Quant eine höhere Energie als die doppelte Ruheenergie haben, so wird der Rest der Energie gleichmäßig auf das Elektron und auf das Positron als kinetische Energie verteilt. Die minimale Energie berechnet sich durch:

Zu bedenken ist hierbei, dass das Gebilde durch das Antimaterieteilchen (das Positron) in normaler Umgebung nicht lange stabil bleibt, da ein Zusammentreffen eines beliebigen Elektrons und eines Positrons zwangsläufig in der Auslöschung beider Teilchen endet, wobei die den Teilchen gegebene Energie wieder freigesetzt wird (pro Teilchen 511 keV).

Neben dem Photoeffekt gibt es eine weitere Strahlung-Materie-Wechselwirkung, den sogenannten Compton-Effekt. Diesen kann man sich so vorstellen, als dass die Strahlen auf ihrem Weg ein Elektron treffen. Diesem übertragen sie nun eine gewissen Menge Energie, so dass das Elektron nun eine gewisse Menge kinetischer Energie erhalten hat. Dadurch wurde dem Quant Energie entzogen, so dass sich seine Wellenlänge vergrößert hat. Stellen wir diesen Prozess bildlich dar, so erhalten wir fogendes Bild:

Betrachten wir nun für dieses Diagramm die Erhaltungssätze, so haben wir:

Energieerhaltung:

Impulserhaltung:

Ableiten der Impulserhaltung mit Hilfe des Kosinussatzes

Kleine Buchstabenkunde:
E = Energie des Quants vorher
E’ = Energie des Quants nach dem Stoss
E_e = Energie des Elektrons vorher
E_e‘ = Energie des Elektrons nach dem Stoss
sowie gleiche Notation für die Impulse
Nun können wir folgende Umformungen vornehmen:

|

Mit der Gleichsetzung

und

können wir dies umformen zu

Nach der Energieerhaltung gilt jetzt ,
was sich umformen lässt zu ,
wodurch wir erhalten:

Was man nun erstmal eine Weile auflösen kann:

|

|

Wodurch wir schließlich das Ergebnis

erhalten. Der Faktor ist dabei konstant und nennt sich Compton-Wellenlänge:

Trifft durch die Öffnung vorne ein Quant im Zählrohr ein, so kann es durch den Photoeffekt an der Wand des Zählrohrs ein Elektron lösen. Dieses gelöste Elektron fühlt sich nun durch die angelegte Spannung Richtung Draht in der Mitte gezogen, weshalb es zielstrebig und vorzugsweise auch recht schnell darauf zu fliegt. Auf dem Weg zm Draht trifft es dabei immer mal wieder andere Atome oder Moleküle, denen es ein Elektron entreißt, so dass sich die Anzahl der Elektronen nach dem Schneeballsystem erhöht. Dabei bewegen sich die durch das ausreißen der Elektronen gebildeten Ionen in die Richtung der Wand des Zählrohrs, die Elektronen weiter richtung Draht. Dadurch entsteht ein Stromfluss, der gemessen werden kann und der somit als Nachweis für Strahlung gilt. Welche Strahlung dabei nachgewiesen wird hängt dann natürlich von dem Material der Wand ab!

Tragen wir die kinetische Energie der Elektronen in Abhängigkeit von der Freuqenz nun auf einen f,E-Graphen auf, so erhalten wir beim Verbinden der Punkte optimalerweise eine Gerade. Um über diese Gerade die Energie von Photonen anderer Frequenz bestimmen zu können, müssen wir die Steigung der Geraden bestimmen. Diese Steigung wird dabei als Planck`sches Wirkumsquantum h bezeichnet, mit dem Wert:

Ziehen wir die Gerade weiter durch die x-Achse durch bis zum Treffpunkt mit der y-Achse, d.h. der Frequenz 0 so können wir aus ihm noch zwei weitere Werte auslesen:

Zum Einen haben wir den Schnittpunkt mit der x-Achse, erst ab dieser Frequenz haben die Elektronen in der Photozelle genug Energie durch die Photonen erhalten, dass sie in der Lage sind die Photozelle zu verlassen. Niedrigere Frequenzen liegen mit der Energie so niedrig, dass sie die Austrittsarbeit nicht überschreiten können. Haben wir festgestellt, dass die Energie auf der Höhe von y = 0 die Energie ist, die die Elektronen mindestens brauchen, so kann man daraus schlussfolgern, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse die Energie angibt, die die Elektronen brauchen, um die Photozelle zu verlassen, also die Austrittsarbeit. Diese ist in diesem Fall negativ, da die aufzubringende Arbeit entgegengesetzt der die Elektronen haltenden Arbeit wirken muss.

Dabei lässt sich beobachten, dass trotz eines offensichtlich nicht geschlossenen Stromkreises ein Strom fließt. Hält man allerdings eine Pappe vor die Hg-Dampflampe, so hört der Stromfluss auf. Selbiges ist auch zu beobachten, wenn man die Sichtlinie zwischen der Zinkplatte und der Lampe mit einer Glasplatte ‘blockiert’. Die Schlussfolgerung ist also, dass es Elektronen aus der Zinkplatte irgendwie schaffen sich rauszulösen, den Zug richtung Spirale nehmen, dort in das Metall umsteigen und durch das Amperemeter zur Spannungsquelle düsen.

Überdenken wir den Versuchsaufbau klassisch, so können wir als Energie, die auf ein Atom in der Zinnplatte trifft folgende Berchnung durchführen:

Die Hg-Dampflampe hat einen Abstand von 40cm von der Zinkplatte und eine Leistung von 100W; für die Größe eines Zinkatoms nehmen wir 10^-10 m an. Damit hätten wir beim Atom eine relevante Oberfläche von:

mit

Die Gesamtoberfläche einer imaginären Kugel, die das von der Hg-Lampe ausgestrahlte Licht darstellt, hat bei einem Radius von 40cm (= Abstand zur Zinkplatte) eine Gesamtoberfläche von

mit

Damit ist die anteilige Oberfläche des Atoms an der Gesamtkugel

,

was bei einer Leistung von 100 Watt bedeutet, dass auf ein Atom die Energie von 3,906 * 10^-19 Watt fällt.
Da als Auslösearbeit eines Elektrons aus einem Atom eine Energie von ≈ 1,6 * 10^-16 J nötig ist, können wir rechnen:

Dies würde wiederrum bedeuten, dass es ungefähr sieben Minuten dauert, bis sich das erste Elektron aus der Zinkplatte löst. Bei der Beobachtung des Versuchs haben wir aber festgestellt, dass sofort ein Stromfluss aufgetreten ist. Folglich müssen wir eine andere Erklärung für dieses Phänomen suchen.

Die Lichtquantentheorie

Also Lösung des Problems bietet sich die Lichtquantentheorie an, nach der das das Licht aus Teilchen, so genannten Quanten besteht, die verschiedene Energien haben. Für unser Experiment ist dabei anscheinend nur die Energie von UV-Quanten ausreichend, um aus der Zinkplatte Elektronen zu lösen. Elektronen, die aus der Zinkplatte, der sogenannten Photozelle, gelöst werden, nennen wir im Folgenden Photoelektronen, der Effekt, durch den die Elektronen gelöst werden ist der Photoeffekt.

Der interessierte Physiker will nun natürlich wissen, welche Energie die Photonen haben. Dazu ersinnt er sich die Gegenspannungsmethode, mit Hilfe derer er die maximale Energie der Photonen erhalten kann. Diese basiert darauf, dass man zwischen der Photozelle (wir nehmen zu diesem Versuch Caesium, da es wesentlich weniger Energie benötigt um Elektronen abzugeben) und der Spirale eine Spannung anlegt, so dass die Spirale, die eigentlich die Elektronen aufnehmen soll, negativ geladen ist. Das dadurch erzeugte Gegenfeld bremst die aus der Photozelle gelösten Elektronen aus. Haben diese nun mehr Energie, als ihnen das Feld entgegenzusetzen mag, so kommen sie (jedenfalls die, die in Richtung der Spiralelektrode fliegen) trotzdem an, und ein Stromfluss ist messbar. Erst wenn kein Stromfluss mehr messbar ist, setzt das erzeugte Feld den Elektronen die Energie entgegen, die die energiereichsten Elektronen haben. Dadurch kann man dann über die Gleichung

die kinetische Energie der Elektronen ermitteln.

(Fortsetzung dieses Beitrags in Beitrag ‘Das Planck`sche Wirkumsquantum‘)

Nach den Regeln der Zeitdilatation bedeutet das, dass die Kugel in diesem System t’ = 5s braucht:

Damit hat die Kugel in diesem zweiten System nur eine Geschwindigkeit w’ = 20 m/s.

Betrachten wir jetzt aber den Impuls der Kugel, mit dem sie auf die Mauer auftrifft, so haben wir für das Orginalsystem den Impuls

,

bei unserem anderen System aber

.

Da auch bei der Relativistik die Impulserhaltung gilt, müssen beide Impulse aber gleich sein, weswegen die einzige Möglichkeit ist, dass sich die Masse der Kugel im zweiten System vergrößert hat. Nehmen wir eine Masse von m = 1kg für unser erstes System, so können wir für unser zweites System die Masse ausrechnen:

Um die Änderung der Masse direkt auszurechnen, führen wir die Gleichsetzung der Impulse nun noch einmal mit den Variablen durch:

Mit m’ als bewegter Masse und m als Ruhemasse haben wir dadurch nun eine Formel, die es uns erlaubt die Massenzunahme zu berechnen.

Will man jetzt die Energie eines bewegten Teilchens bestimmen, so stellt man in Experimenten fest, dass die Formel W_kin= 1/2 m v² nicht anwendbar ist, da sie die falschen Ergebnisse liefert (bei hohen Geschwindigkeiten).

Deshalb suchen wir nun nach einer anderen Formel zur Bestimmung der Energie. Im folgenden werde ich dazu einige Umformungen vornehmen, in denen ich der einfachheit halber die Variablen k und β mit den Definitionen

ersetze.

Fangen wir an die Massendifferenz zwischen der Ruhemasse und der bewegten Masse zu bestimmen, so können wir folgende Umformungen vornehmen (m = bewegte Masse; m₀ = Ruhemasse):

Da wir nach den binomischen Formeln umformen können

,

können wir unser Ergebnis von oben mit (1 + k) erweitern (wir tuns einfach, auch wenns komisch erscheint )

Für kleine Geschwindigkeiten v wird β praktisch 0, wodurch wir für k = √(1 – β) = 1 haben:

, wobei W_kin= 1/2 m v²

Dadurch haben wir W_{kin,klassisch} ≈ mc² für kleine v in der Form W = 1/2 mv² bewiesen.
Da wir hier aber auch den relativistischen Teil betrachten wollen, müssen wir noch folgende Umformung vornehmen.
Nehmen wir wieder die Anfangsformel, so können wir diese mit c² erweitern. daraus folgt:

Da wir oben ermittelt haben, dass W_kin = mc² ist, können wir nun gleichsetzten:

Mit dem Satz, dass E = mc² ist, haben wir damit als Gesamtenergie eines Teilchens:

Ein ruhender Körper hat nun die die kinetische Energie W_kin = 0, aber er hat eine Ruheenergie von W₀= m₀c². Dadurch haben wir als relativistische kinetische Energie eines Körpers die Formel

Und als Gesamtenergie eines Teilchens

.

Damit hätten wir hier die Umformung zwischen Masse und Energie theoretisch bewiesen.

Beispiel: Ein Zug fährt mit 0,6c durch einen Bahnhof auf dem du (ja, genau DU) stehst. Im Zug siehst du einen Schaffner einem Schwarzfahrer hinterherlaufen, der wiederrum seinem Hund hinterherläuft, der auf der Flucht vor einem anderen Hund ist, der… egal, ich schweife ab. Also jedenfalls läuft der Schaffner mit 0,5c in Fahrtrichtung hinter dem Schwarzfahrer her. Klingt komisch, ist aber so. Würde man die Geschwindigkeiten jetzt nach dem klasischen Prinzip addieren, so würde sich der Schaffner relativ zu dir mit einer Geschwindigkeit von 1,1c bewegen (ganz zu schweigen vom Schwarzfahrer und seinem Hund). Dies ist, wie uns bekannt ist, unmöglich, da nichts schneller ist als das Licht.

Jetzt suchen wir also einen Weg die Geschwindigkeit des Schaffners relativ zu dir zu berechnen. Wir wissen, dass man Geschwindigkeiten aus Weg durch Zeit berechnet, warum also nicht auch hier? Betrachten wir also hier, die Strecke Δx, die der Schaffner in der Zeit Δt relativ zu dir vorwärts kommt.

Hier können wir die x und die t mit den Gleichungend er Lorentztransformation ersetzen

– k kürzen
– Klammern auflösen
– umordnen
– ausklammern
– (t₂‘ – t₁‘) kürzen

Da wir gleichzeitig auch wissen, dass

gilt, können wir nun ersetzten:

Setzten wir nun unser Beispiel ein, erhalten wir folgendes Ergebnis:

Womit wir für den Schaffner relativ zu dir eine Geschwindigkeit von 0,846c hätten.