Mein Blögchen für alles!

Wir bauen folgenden Versuch auf:

Dabei lässt sich beobachten, dass trotz eines offensichtlich nicht geschlossenen Stromkreises ein Strom fließt. Hält man allerdings eine Pappe vor die Hg-Dampflampe, so hört der Stromfluss auf. Selbiges ist auch zu beobachten, wenn man die Sichtlinie zwischen der Zinkplatte und der Lampe mit einer Glasplatte ‘blockiert’. Die Schlussfolgerung ist also, dass es Elektronen aus der Zinkplatte irgendwie schaffen sich rauszulösen, den Zug richtung Spirale nehmen, dort in das Metall umsteigen und durch das Amperemeter zur Spannungsquelle düsen.

Überdenken wir den Versuchsaufbau klassisch, so können wir als Energie, die auf ein Atom in der Zinnplatte trifft folgende Berchnung durchführen:

Die Hg-Dampflampe hat einen Abstand von 40cm von der Zinkplatte und eine Leistung von 100W; für die Größe eines Zinkatoms nehmen wir 10^-10 m an. Damit hätten wir beim Atom eine relevante Oberfläche von:

mit

Die Gesamtoberfläche einer imaginären Kugel, die das von der Hg-Lampe ausgestrahlte Licht darstellt, hat bei einem Radius von 40cm (= Abstand zur Zinkplatte) eine Gesamtoberfläche von

mit

Damit ist die anteilige Oberfläche des Atoms an der Gesamtkugel

,

was bei einer Leistung von 100 Watt bedeutet, dass auf ein Atom die Energie von 3,906 * 10^-19 Watt fällt.
Da als Auslösearbeit eines Elektrons aus einem Atom eine Energie von ≈ 1,6 * 10^-16 J nötig ist, können wir rechnen:

Dies würde wiederrum bedeuten, dass es ungefähr sieben Minuten dauert, bis sich das erste Elektron aus der Zinkplatte löst. Bei der Beobachtung des Versuchs haben wir aber festgestellt, dass sofort ein Stromfluss aufgetreten ist. Folglich müssen wir eine andere Erklärung für dieses Phänomen suchen.

Die Lichtquantentheorie

Also Lösung des Problems bietet sich die Lichtquantentheorie an, nach der das das Licht aus Teilchen, so genannten Quanten besteht, die verschiedene Energien haben. Für unser Experiment ist dabei anscheinend nur die Energie von UV-Quanten ausreichend, um aus der Zinkplatte Elektronen zu lösen. Elektronen, die aus der Zinkplatte, der sogenannten Photozelle, gelöst werden, nennen wir im Folgenden Photoelektronen, der Effekt, durch den die Elektronen gelöst werden ist der Photoeffekt.

Der interessierte Physiker will nun natürlich wissen, welche Energie die Photonen haben. Dazu ersinnt er sich die Gegenspannungsmethode, mit Hilfe derer er die maximale Energie der Photonen erhalten kann. Diese basiert darauf, dass man zwischen der Photozelle (wir nehmen zu diesem Versuch Caesium, da es wesentlich weniger Energie benötigt um Elektronen abzugeben) und der Spirale eine Spannung anlegt, so dass die Spirale, die eigentlich die Elektronen aufnehmen soll, negativ geladen ist. Das dadurch erzeugte Gegenfeld bremst die aus der Photozelle gelösten Elektronen aus. Haben diese nun mehr Energie, als ihnen das Feld entgegenzusetzen mag, so kommen sie (jedenfalls die, die in Richtung der Spiralelektrode fliegen) trotzdem an, und ein Stromfluss ist messbar. Erst wenn kein Stromfluss mehr messbar ist, setzt das erzeugte Feld den Elektronen die Energie entgegen, die die energiereichsten Elektronen haben. Dadurch kann man dann über die Gleichung

die kinetische Energie der Elektronen ermitteln.

(Fortsetzung dieses Beitrags in Beitrag ‘Das Planck`sche Wirkumsquantum‘)

Betrachten wir das Beispiel einer Kugel, die mit einer Geschwindigtkeit w = 25 m/s auf eine Mauer zufliegt. Diese Kugel braucht bei einer Entfernung zur Mauer von 100m also t = 4s. Nun stellen wir zusätzlich zu diesem einen System noch ein weiteres System auf, dass sich parallel zur Mauer mit der Geschwindigkeit v = 0,6c bewegt.

Nach den Regeln der Zeitdilatation bedeutet das, dass die Kugel in diesem System t’ = 5s braucht:

Damit hat die Kugel in diesem zweiten System nur eine Geschwindigkeit w’ = 20 m/s.

Betrachten wir jetzt aber den Impuls der Kugel, mit dem sie auf die Mauer auftrifft, so haben wir für das Orginalsystem den Impuls

,

bei unserem anderen System aber

.

Da auch bei der Relativistik die Impulserhaltung gilt, müssen beide Impulse aber gleich sein, weswegen die einzige Möglichkeit ist, dass sich die Masse der Kugel im zweiten System vergrößert hat. Nehmen wir eine Masse von m = 1kg für unser erstes System, so können wir für unser zweites System die Masse ausrechnen:

Um die Änderung der Masse direkt auszurechnen, führen wir die Gleichsetzung der Impulse nun noch einmal mit den Variablen durch:

Mit m’ als bewegter Masse und m als Ruhemasse haben wir dadurch nun eine Formel, die es uns erlaubt die Massenzunahme zu berechnen.

Will man jetzt die Energie eines bewegten Teilchens bestimmen, so stellt man in Experimenten fest, dass die Formel W_kin= 1/2 m v² nicht anwendbar ist, da sie die falschen Ergebnisse liefert (bei hohen Geschwindigkeiten).

Deshalb suchen wir nun nach einer anderen Formel zur Bestimmung der Energie. Im folgenden werde ich dazu einige Umformungen vornehmen, in denen ich der einfachheit halber die Variablen k und β mit den Definitionen

ersetze.

Fangen wir an die Massendifferenz zwischen der Ruhemasse und der bewegten Masse zu bestimmen, so können wir folgende Umformungen vornehmen (m = bewegte Masse; m₀ = Ruhemasse):

Da wir nach den binomischen Formeln umformen können

,

können wir unser Ergebnis von oben mit (1 + k) erweitern (wir tuns einfach, auch wenns komisch erscheint )

Für kleine Geschwindigkeiten v wird β praktisch 0, wodurch wir für k = √(1 – β) = 1 haben:

, wobei W_kin= 1/2 m v²

Dadurch haben wir W_{kin,klassisch} ≈ mc² für kleine v in der Form W = 1/2 mv² bewiesen.
Da wir hier aber auch den relativistischen Teil betrachten wollen, müssen wir noch folgende Umformung vornehmen.
Nehmen wir wieder die Anfangsformel, so können wir diese mit c² erweitern. daraus folgt:

Da wir oben ermittelt haben, dass W_kin = mc² ist, können wir nun gleichsetzten:

Mit dem Satz, dass E = mc² ist, haben wir damit als Gesamtenergie eines Teilchens:

Ein ruhender Körper hat nun die die kinetische Energie W_kin = 0, aber er hat eine Ruheenergie von W₀= m₀c². Dadurch haben wir als relativistische kinetische Energie eines Körpers die Formel

Und als Gesamtenergie eines Teilchens

.

Damit hätten wir hier die Umformung zwischen Masse und Energie theoretisch bewiesen.

Will man die Geschwindigkeit eines Systems bestimmen, dass sich relativ zu einem anderen bewegt, so ging dies klassisch einfach, indem man die Geschwindigkeiten beider Systeme addierte. Betrachtet man diese Möglichkeit für relativistische Geschwindigkeiten, so wird man feststellen, dass dies aufgrund der Begrenzung durch die Lichtgeschwindigkeit nicht möglich ist.

Beispiel: Ein Zug fährt mit 0,6c durch einen Bahnhof auf dem du (ja, genau DU) stehst. Im Zug siehst du einen Schaffner einem Schwarzfahrer hinterherlaufen, der wiederrum seinem Hund hinterherläuft, der auf der Flucht vor einem anderen Hund ist, der… egal, ich schweife ab. Also jedenfalls läuft der Schaffner mit 0,5c in Fahrtrichtung hinter dem Schwarzfahrer her. Klingt komisch, ist aber so. Würde man die Geschwindigkeiten jetzt nach dem klasischen Prinzip addieren, so würde sich der Schaffner relativ zu dir mit einer Geschwindigkeit von 1,1c bewegen (ganz zu schweigen vom Schwarzfahrer und seinem Hund). Dies ist, wie uns bekannt ist, unmöglich, da nichts schneller ist als das Licht.

Jetzt suchen wir also einen Weg die Geschwindigkeit des Schaffners relativ zu dir zu berechnen. Wir wissen, dass man Geschwindigkeiten aus Weg durch Zeit berechnet, warum also nicht auch hier? Betrachten wir also hier, die Strecke Δx, die der Schaffner in der Zeit Δt relativ zu dir vorwärts kommt.

Hier können wir die x und die t mit den Gleichungend er Lorentztransformation ersetzen

– k kürzen
– Klammern auflösen
– umordnen
– ausklammern
– (t₂‘ – t₁‘) kürzen

Da wir gleichzeitig auch wissen, dass

gilt, können wir nun ersetzten:

Setzten wir nun unser Beispiel ein, erhalten wir folgendes Ergebnis:

Womit wir für den Schaffner relativ zu dir eine Geschwindigkeit von 0,846c hätten.

Betrachten wir die Wechselstromwiderstände in einer verschiedenen Schaltung, so können wir den Widerstand in Abhängigkeit von der Frequenz in einen Graphen aufzeichnen:

(1) RC-Schaltung
(a) Hochpass	(b) Tiefpass
(2) RL-Schaltung
(a) Hochpass	(b) Tiefpass
(3) LC-Schaltung
(a) Hochpass	(b) Tiefpass

(1) Da X_C abhängig ist von der Frequenz, sinkt der kapazitive Widerstand am Kondensator je höher die Frequenz ist. Dadurch fällt bei hohen Frequenzen kaum Spannung am Kondensator ab, so dass der Widerstand R für einen verhältnismäßig große Spannungsabfall sorgt. Bei kleinen Frequenzen fällt am Kondensator die größere Spannung ab, so dass der Widerstand kaum noch eine Rolle spielt.

(a) Beim Hochpass wird Spannung am Widerstand abgegriffen. Da der Kondensator kaum einen Widerstand bildet, ist der am Widerstand auftretende Spannungsabfall bedeutender, je höher die Frequenz ist. Dadurch kann man am Widerstand sehr gut hohe Frequenzen abgreifen und damit filtern.
(b) Um niedrige Spannungen heraus zu filtern kann man die Spannung am Kondensator abgreifen. Dieser bietet bei niedrigen Frequenzen einen hohen Widerstand, so dass der Strom vorzugsweise den Alternativweg geht, den das Abgreifend er Spannung ihm bietet.

Um sich zu entscheiden, ob man für die Frequenzen die man Filtern will einen Hoch- oder Tiefpoass braucht, kann man die Grenzfrequenz bilden, die sowohl am Kondensator, als auch am Widerstand gleich gut durch kommt. Diese kann man berechnen, indem man U_R und U_C gleichsetzt:

(2) In der RL-Schaltung haben wir durch X_L eine proportionale Abhängigkeit des Wechselstromwiderstandes der Spule zur Frequenz.

(a) Dadurch ist der Widerstand an der Spule um so größer, je größer die Frequenz ist, wodurch sich dort besonders die hohen Frequenzen gut abgreifen lassen.
(b) Im Gegenzug lassen sich am Widerstand besonders gut die nidriegen Frequenzen abgreifen.

Bei dieser Schaltung haben wir als Grenzfrequenz:

(3) Neben den einfachen RC und RL – Schaltungen können wir auch eine Spule und einen Kondensator in einem Schaltkreis kombinieren.

(a) Greift man die Spannung an der Spule ab, so hat man durch den hohen Widerstand der Spule bei hohen Frequenzen einen guten Filter für diesen Frequenzbereich.
(b) Da die Spule bei niedrigen Frequenzen kaum Widerstand bildet, der Kondensator dafür aber um so mehr, eignet sich der Kondensator gut, um niedrige Frequenzen zu filtern.

Der Vorteil des Spule/Widerstand Schaltkreises ist, dass man durch die beiden sich ändernden Widerstände eine schärfere Abgrenzung zwischen den gewünschten Frequenzen erreichen kann, als es in einem RC oder RL-Schaltkreis möglich ist. Allerdings hat man durch die Kombination des Kondensators und der Spule auch einen kleinen (Reihen-)Schwingkreis errichtet. Deshalb muss man mit einem vorgeschalteten, richtig dimensioierten Widerstand dafür sorgen, dass sich keine Resonanz bilden kann. Andersrum muss man aber auch darauf achten, dass der Widerstand den Strom nicht zu stark abschwächt, da die Kurve sonst abflacht und man den Vorteil einer LC-Schaltung nicht mehr nutzen kann.

Die Grenzfrequenz einer LC-Schaltung ist:

Um den Widerstand richtig zu dimensonieren muss er optimal durch folgende Gleichung beschrieben werden:

oder

***

Anmerkung:

1. Details entnommen von: Quelle

2. Bilder komplett selbst erstellt, daher kein Gewähr auf Richtigkeit

Betrachten wir im klassischen Sinne einen Punkt von zwei verschiedenen Systemen aus, so kann dies wie folgt aussehen:

Der Punkt lässt sich nun in den zwei verschiedenen Systemen beschreiben. Zum Einen im schwarzen System über die Koordinaten x und y, zum Anderen im blauen System über die Koordinaten x’ und y’ (wobei y = y’). Da beide Systeme auch in Abhängigkeit voneinander stehen, kann man aber auch jeden Punkt mit den Informationen aus dem anderen Koordinatensystem darstellen. Betrachten wir die Geschwindigkeit des blauen Koordinatensystems mit v, so ergibt sich

x = x’ + vt’
x’ = x – vt

Damit hätten wir die Regeln der klassischen Galileitransformation. Will man die Transformation jetzt unter relativistischen Gesichtspunkten durchführen, so kann man als Basisgleichungen die Gleichungen der Galileitransformation nehmen. Um damit aber die Lorentztransformation zuerreichen benötigen wir noch einen Korrekturfaktor k. Dann haben wir folgende Gleichungen:

Da wir bei der Lorentztransformation die Relativistik betrachten gelten auch hier die relativistischen Postulate:

• Die Lichtgeschwindigkeit ist in beiden Systemen gleich groß
  
• Beide Systeme sind gleichberechtigt

Nehmen wir jetzt die Formeln von oben können wir weiter umformen:

Um k heraus zu bekommen können wir nun beide Gleichungen miteinander multiplizieren:

Dadurch haben wir jetzt ein Lösung für den Korrekturfaktor, so dass wir für die Umrechnung von Strecken folgende Gleichungen haben:

bzw.

Mit t = x/c bzw. t’ = x’/c können wir nun auch die Transformation für Zeiten ausrechnen:

Oder umgekehrt, über den gleichen Rechenweg:

Hat man einen Schwingkreis und will diesen nutzen, um höhere Frequenzen zu erreichen, so muss man Änderung an dem Aufbau des Schwingkreises vornehmen. Nach der Formel

ist es dafür nötig, die Induktivität der Spule oder die Kapazität des Kondensators zu verringern.

Führt man dies stetig durch, so kommt man zu folgendem Ablauf:

Im ersten Schritt verkleinert man die Induktivität der Spule, danach senkt man die Kapazität des Kondensators Stück für Stück. Einen derartigen ‘Schwingkreis’ kann man nun wieder durch eine Spule anregen:

Betrachtet man nun, was in dem Hertz’schen Dipol abläuft, so kann man dabei Folgendes schließen:

Parallel zum Schwingkreis hat man auch beim Hertz’schen Dipol die induzierte Spannung. Dadurch bildet sich im Dipol ein Plus und ein Minus Pol. Folglich bildet sich nun wie bei einem Kondensator ein elektrisches Feld um den Dipol. Weiterhin sorgt der Plus- und der Minus-Pol für einen Stromfluss zwischen den Stabenden, der im Leiter wiederrum ein Magnetfeld erzeugt, vergleichbar mit einer Spule. Damit haben wir um den Hertz’schen Dipol eine Abstrahlung in Form von elektromagnetischen Wellen, die wie folgt aussieht:

Hierbei stellen die roten Linien das elektrische Feld dar, und die blauen das magnetische Feld. Beide treten in einem Winkel von 90° zueinander auf. Auch haben beide einen Winkel von 90° zum Dipol. Da das magnetische Feld in dieser Grafik waagrecht ist das Magnetfeld durch Punkte und Kreuze dargestellt, wobei die Kreuze bedeuten, dass das Magnetfeld von einem weg verläuft, und die Punkte, dass es auf einen zukommt.

Damit kann man einen Herzt’schen Dipol gut als Sender von elektromagnetischen Wellen gebrauchen, die durch die periodische Umkehrung des Stroms fortwährend fortwährend gebildet werden, dann abgeschnürt und weggesandt, während sich bereits das jeweils andere Feld bildet. Die Bewegungsgeschwindigkeit der Wellen ist dabei gleich der Lichtgeschwindigkeit.

***

Anmerkung:

Um die Geschwindigkeit der Ausbreitung der Wellen zu bestimmen, kann man folgende Rechnung machen:

Da die Aussendung der Strahlung am effektivsten ist, wenn beide Felder gleiche Energiedichten haben und wir die Formeln für die Energiedichten bei elektrischen und magnetischen Fedlern wie folgt definiert haben

,

können wir mithilfe der Formeln E = B * v und Q = I * t umformen:

Nun setzten wir μ_r und ε_r = 1, da wir bei Luft annähernd von einem Vakuum ausgehen können. Setzten wir nun die Konstanten ein, so können wir rechnen:

Wir haben ein Federpendel mit der gegebenen Masse m und Federstärke D. Wir setzen die Grundgesetze und gleich und erhalten, unter Beachtung der Tatsache, dass die Kräfte entgegengesetzt wirken:

.

Für setzen wir ein:

gekürzt:

einsetzten:

Womit wir die Frequenz hätten. Das Ganze kann man jetzt noch nach T umformen und erhält dann: