Mein Blögchen für alles!

Da in einem normalen Schwingkreis durch den bloßen Widerstand der Elemente und der Drähte bereits nach sehr kurzer Zeit eine extreme Dämpfung stattfindet, muss man für eine ungedämpfte Schwingung immer wieder Energie hinzufügen. Dies wird beispielsweise durch folgende Schaltung erreicht:

Das System dieser Schaltung verläuft dabei folgendermaßen:

Man geht davon aus, dass im Schwingkreis bereits eine Schwingung vorliegt. Dies kann bereits dadurch geschehen, dass beim Strom Anschalten ein Stromstoß in den Schwingkreis ‘eingedrungen’ ist. Danach wird bei jeder Schwingung im Kreis in der Spule L ein Magnetfeld erzeugt, welches in der Spule L^* ein Spannung induziert. Genau genommen finden wir hier eine induzierte Wechselspannung, die gleichphasig zur Spannung im Schwingkreis ist. Diese induzierte Spannung öffnet nun den Transistor. Dadurch besteht nun eine Verbindung zwischen dem Plus-Pol und dem Minus-Pol, die durch den Schwingkreis läuft. Da beide Spulen in Phase sind entspricht auch der Energieschub aus der Gleichspannungsquelle der Phase, so dass dem Schwingkreis neue Energie zugefügt wird.

Allerdings muss man darauf achten, dass nicht zu viel Energie hinzugefügt wird. Sollte zu viel Energie hinzugefügt werden steigen sowohl die Spannung als auch der Stromfluss im Schwingkreis an, so dass der Schwingkreis übersteuert und sich schließlich selbst vernichten würde. Bei zu wenig Energie würde der Schwingkreis sich nicht aufrecht erhalten können, da der Energieverlust im Kreis größer wäre als die zugeführte Energie. Zur Regelung dieser Größen ist es also sinnvoll einen Widerstand einzubauen, der den Stromfluss beschränkt.

Zusätzlich kann in die o.a. Schaltung ein Kondensator im Stromkreis der Spule eingesetzt werden, der dafür sorgt, dass die angelegte Gleichspannung nicht über die Spule kurzgeschlossen wird.

Über Anpassungen im Schwingkreis an der Spule L oder am Kondensator C kann die Frequenz des Schwingkreises geändert werden, bis man den gewünschten Wert erhält. Die erreichte Frequenz errechnet sich über die Resonanzfrequenz

Wir haben einen LC Schwingkreis nach folgendem Aufbau:

Der Widerstand spielt keine bedeutende Rolle, sondern dient nur dazu den Widerstand der Leitungen zu überdecken.
Laden wir nun den Kondensator vorher auf, so ist im Kondensator eine gewisse Grundmenge Energie gespeichert. Da der Kondensator im Kreis selber beide Enden verbunden hat findet zum Ladungsausgleich ein Stromfluss durch dei Spule statt. Dabei entlädt sich der Kondensator. Im Gegenzug bewirkt der in der Spule fließende Strom den Aufbau eines Magnetfeldes, das wiederum ein Spannungsfeld erzeugt, dass entgegengesetzt zur Spannung im Kondensator ist. Als Folge davon lädt sich der Kondensator wieder auf (diesmal umgekehrt) und das ganze Spielchen geht von vorn los:

Aufgrund des Wissens der Phasenveschiebung zwischen den Spannungen können wir dazu folgendes Phasendiagramm aufstellen:

Damit können wir die Spannung U₀ als Kombination der anderen Spannungen darstellen:

ersetzen wir mit Hilfe von U = R * I

R = U/I = X_RCL

Stellt man dies als Graphen dar, so erreicht der Graph sein Minimum an der Stelle, wo gilt:

Dadurch erhalten wir für als Frequenz für einen Schwingkreis die Formel:

Diese Formel stellt die Eigenfrenquenz und damit auch die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises dar. Sie wird auch Thomson’sche Gleichung genannt.

Um den Widerstand verschiedener Bauteile in einem Wechselstromkreis zu bestimmen, benötigen wir die berechneten Effektivwerte der Spannung und der Stromstärke. Der Wechselstromwiderstand selbst, auch Impedanz genannt, berechnet sich danach aber über die gleiche Formel, die auch in Gleichstromkreisen gilt:

Der Wechselstromwiderstand am ohmschen Widerstand

Da an einem ohmschen Widerstand sowohl der Stromfluss als auch die Spannung gleichzeitig verlaufen, gilt:

Da sich der Widerstand durch R = U/I definiert, haben wir in diesem Fall

womit wir für den Wechselstromwiderstand eines ohmschen Widerstands den ganz normalen Widerstandswert R hätten:

Der Wechselstromwiderstand an einer Spule

Die in der Spule wirkende Spannung setzt sich zusammen aus der angelegten Spannung U_Quell und der induzierten Spannung U_L. Dadurch ist die Stromstärke definiert durch

,
,

wobei R der Widerstand des Spulendrahtes ist. Um die Rechnung allerdings zu vereinfachen gehen wir in diesem Fall von einer idealen Spule aus, in der der Drahtwiderstand null ist. Dadurch fällt der linke Teil der obigen Gleichung weg, so dass wir sie umformen können zu:

Da I^. aber die Änderung der Stromstärke definiert, während wir die Stromstärke selber haben wollen, müssen wir integrieren:

U_Quell definiert sich nun als Wechselstrom durch

Aufgelöst erhalten wir dann:

Nach den Trigonometrie können wir hierbei umformen:

Eingesetzt:

Betrachten wir in dieser letzten Gleichung den Zähler, so stellen wir fest, dass es sich hierbei um die um 90° (π/2)vorgezogene Spannung der Spule im Vergleich zur Stromstärke handelt, so dass wir ersetzen können:

Vergleichen wir dies mit der bekannten Formel U = R*I bzw. I = U/R, stellen wir fest, dass der Nenner ωL hier die Rolle des Widerstandes übernimmt. Damit hätten wir den Wechselstromwiderstand in einer Spule mit

, und da ω = 2πf

,

Dadurch haben wir bei einer Spule eine Abhängigkeit des Widerstandes von der Frequenz, je höher die Frequenz ist, desto größer ist auch der Widerstand.

Der Wechselstromwiderstand am Kondensator

Als Quellspannung haben wir hier wieder

Der Strom im Kondensator definiert sich über die Ladung, wodurch wir die Formel

bzw. Zeitabhängig

haben.

Da die Ladung eines Kondensators von der angelegten Spannung und der Kapazität des Kondensators abhängig ist haben wir weiterhin

bzw.

Setzen wir dies jeweils ein erhalten wir:

(ableiten)

Damit haben wir für I^. die Gleichung C * U₀ * ω, da dies die maximale Stromstärke ist die mit cos(ωt) schwingt.

Damit hätten wir

Vergleichen wir dies jetzt wieder mit der normalen Gleichung für den Widerstand (U/I = R) können wir daraus schlussfolgern, dass der Wechselstromwiderstand eines Kondensators dem rechten Teil der Gleichung entspricht:

Reihenschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator

Schaltet man nun sämtliche Bauteile in Reihe, so kann man dabei folgendes Phasendiagramm erstellen:

(klicken zum Vergrößern; Quelle: Metzler Physik 2003)

Dadurch kann man für die Gesamtspannung U_G über Pythargoras darstellen als:

Da der Gesamtwiderstand der Schaltung

und da U/I = R

Ausgedrückt über die Widerstände:

Hat man eine Schaltung, in der Widerstände, Spulen und Kondensatoren sind so kann man beim Anschließen eines Ozilloskops einen Phasenunterschied zwischen der Spannung und dem Strom feststellen. Diese sind allerdings bei Spule, Kondensator und Widerstand verschieden:

Beim Widerstand:

Beim Widerstand sind Spannung u und Strom i in Phase. Sie erreichen beide gleichzeitig ihr Maximum und haben damit einen Phasenwinkel φ von 0°

Bei der Spule:

Da die Spannung auf Basis der Stromänderung in der Spule induziert wird, ist die größte Spannung an der Spule zu finden, wenn i einen Nulldurchgang hat. Dadurch liegt das Maximum der Spannung 90° oder π/2 vor dem des Stroms. Somit ist der Phasenwinkel von der Spannung zur Stromstärke φui von 90°.

Beim Kondensator:

Da im Kondensator der Ladevorgang nach der bekannten Gleichung (siehe Kondensator) vorgeht, lädt er praktisch unbegrenzt auf so lange die Stromrichtung gleich bleibt. Dadurch hat der Kondensator bei der Änderung der Stromrichtung die maximale Spannung. Als Ergebnis dieser Überlegung haben wir einen um 90° oder π/2 vorgezogenen Strom. Der Phasenwinkel von der Spannung zur Stromstärke ist damit φui = -90°.

***

Anmerkung:

1. Die Bilder in diesem Beitrag stammen alle von der Seite www.formel-sammlung.de

Quelle

Quelle

Im Bild sehen wir ein Federpendel mit der eingezeichneten Ruhelage, der Auslenkung sowie der Feder- und Gewichtskraft.Wir unterscheiden hierbei zwischen idealen, gedämpften und erzwungenen Schwingungen. Bei der idealen Schwingung gibt es keinen Verlust durch Reibung, das Pendel erreicht immer wieder seine volle Auslenkung.Das Bild des Federpendels zeigt anschaulich die typischen Merkmale einer Schwingung:

Das Gewicht wurde aus der Gleichgewichtslage herabgezogen, so dass eine Rückstellkraft F_r auftritt, die das Pendel abbremst und zur Gleichgewichtslage zurückzieht. Aufgrund der Trägheit der Masse bewegt sich das Pendel jedoch darüber hinaus und der gesamte Vorgang beginnt von vorne. Beim Fadenpendel wird F_r bei beiden Auslenkungen durch die Schwerkraft F_g erzeugt, beim Federpendel abwechselnd durch die Federkraft F_s und die Gewichtskraft F_g.

Im weiteren betrachten wir nur noch harmonsiche Schwingungen. Eine Schwinnung ist harmonisch, wenn ihre Frequenz f unabhängig von ihrer Amplitude ist.

Als relevante Größen betrachten wir im weiteren die Schwingungsdauer T, die Frequenz f, die Elongation oder monentane Auslenkung y(t), sowie die Amplitude oder Schwingungsweite y₀. T beschreibt die zeitliche Dauer einer vollständigen Schwingung, f die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit. Daher lässt sich T aus f mit sowie umgekehrt berechnen. Die Elongation beschreibt die Auslenkung des schwingenden Körpers zum Zeitpunkt t, die Amplitude den Betrag der größten Elongation.

In der Zeichnung sieht man einen gleichförmig auf einer Kreisbahn laufenden Punkt, dessen Position auf die y-Achse des nebenstehenden Diagramms projeziert wird. Die Projektion ergibt eine harmonische Schwingung. Aus dem Bild ist ersichtlich: . Mit ergibt sich .

Der Phasenwinkel φ der Schwingung wächst mit der Zeit t an. Die Winkelgeschwindigkeit der dargestellten Kreisbewegung entspricht mit . Ersetzt man φ in der obigen Gleichung, so erhalten wir: mit erhalten wir: .

Diese Formel können wir auf alle harmonischen Schwingungen anwenden..

Will man den zeitlichen Verlauf der Spannung, der Stromstärke und der Leistung im Wechselstromkreis betrachten, so kann man die Eigenschaften des Wechselstroms von Gleichstrom herleiten. Die Gleichung für die Spannung u(t) ist mit

gegeben,

die Stromstärke i(t) lässt sich über U = R * I auflösen nach

Wodurch sich für die Leistung folgendes ergibt:

Damit ergibt sich folgender Graph:

Basierend auf den Funktionen: U(t) = 5 * sin(x/2) I(t) = 5/2 * sin(x/2) P(t) = 7,5 * sin2(x/2) Hierbei ist P(t) nur eine Annäherung, da es eigentlich U(t) * I(t) = 12,5 * sin2(x/2) sein müsste, was aber aufgrund der Verhältnisse nicht darstellbar wäre.

Wollen wir jetzt die Energie berechnen, so müssen wir die Fläche unter P mit Hilfe eines Integrals lösen, wobei wir als obere Grenze die Phasendauer (oder ein Vielfaches dieser nehmen):

Da nach der Trigonometrie gilt

können wir

umformen zu

Lösen wir das Integral mit den o.a. Grenzen auf ergibt sich

Vergleichen wir nun die Energie bei der Wechselspannung mit der Energie bei Gleichspannung so ergibt sich folgendes:

Da der Cosinus nach einem Phasendurchgang oder einem Vielfach 0 ist, fällt dieser teil des Terms weg. Kürzt man den Rest weiter, erhält man

Da W auf Basis der maximalen Spannung und Stromstärke aufgebaut wurde, könne wir umformen:

(1)

Dadurch haben wir

vgl. (1)

Gehen wir dann davon aus, dass wir eine durchschnittliche Stromstärke I_Durchschnitt haben, so ergibt sich folgende Formel. Da diese Stromstärke nebenbei auch die Stromstärke ist, die effektiv wargenommen wird, wird sie auch Effektivstromstärke gennant (I_Eff)

Parallel gilt bei der Spannung:

vgl. (1)

Damit haben wir schließlich die effektive Spannung in einem Wechselstromkreis im Vergleich zur Spitzenspannung ermittelt und haben zusammengefasst die Formeln:

für die Spannung
für die Stromstärke

für die Leistung.

***

Anmerkung:

1. Betrachtet man dies, kann man nun sagen, dass die gemessene Spannung (z.B. mit einem Zeigermessgerät) nicht die maximale Spannung anzeigt, da der Zeiger meist zu träge ist um den schnellen Änderungen zu folgen. Der damit erhaltenene Wert der Effektivspannung ist somit der Wert, in dem sämtliche Zusammenhänge der Wechselspannung angegeben sind. So ist Beispielsweise die Spannung im Stromnetz mit 230V angegeben, wobei es sich allerdings um die Effektivspannung handelt.
Rechnet man dies um, erhält man für die maximale Spannung U₀ = 230 V * √2 = 325 V.

Da wir für die Anwendung des Transformators Wechselspannung brauchen, stellt sich unter nicht näher erläuterten Umständen die Frage, wie wir überhaupt an diese Wechselspannung kommen.

Quelle

Um Wechselspannung zu erzeugen, sorgt man dafür, dass sich eine Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld kontinuierlich um die eigene Achse dreht. Dadurch ändert sich die Fläche der Leiterschleife, die senkrecht zu den Magnetfeldlinien steht, wodurch sich wiederrum der magnetische Fluss ändert. Nach den bekannten Gesetzten sorgt dies für eine induzierte Spannung in der Leiterschleife, die man nun als Wechselspannung abgreifen kann.

Betrachtet man das Ganze jetzt noch mit Formeln, so kann man für den magnetischen Fluss die Formel

Definiert man jetzt den Winkel, den die Leiterschleife in der Zeit t zurück legt als α, so ergibt sich die Formel

, mit ω als Winkelgeschwindigkeit.

Die Fläche der Leiterschleife definiert sich nun durch

, wobei a die Längsseite ist, und b die Querseite (die, die mal waagrecht, mal senkrecht steht)

Da sich hier nur die Länge b im Verhältnis zum Magnetfeld ändert, kann man somit die Änderung der Fläche mit der Formel

angeben. Um die genaue Fläche zu erhalten, müssen wir nun die Fäche A in die Ebene projezieren. dabei bleibt die Länge a gleich, während sich b auf eine Länge von b’ = b * cos α verkürzt. Dadurch haben wir nun die Formel

Kombiniert man diese Formeln, so kann man folgende Umformungen durchführen:

(B*A = konstant)
Ableitung auflösen

Dadurch können wir nun die Spannung, die in einem Wechselstromkreis anliegt, über die Formel

angeben, wobei u₀ die maximale Spannung, d.h. die Amplitude der Spannung definiert und durch

gegeben ist.

Bei den Formeln gilt n als Windungszahl der Leiterschleife oder der rotierende Spule, A ist die maximale Querschnittsfläche der Spule und B beschreibt das magnetische Feld, das die Spannung induziert. ω ist die Winkelgeschwindigtkeit, mit der sich die Spule dreht, angegeben in Grad pro Sekunde.

***

Anmerkung:

1. Wechselspannungen werden im Gegensatz zu Gleichspannungen nach einer DIN-Norm mit einem kleinen u angeben und notiert.

2. Für die Amplitude der Spannung ist neben dem Ausdruck u₀ auch û gebräuchlich. Aufgrund von Formatierungsproblemen versuche ich hier aber durchgängig die Variante mit der 0 im Index durchzuhalten.